СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Беляев Виктор Константинович

Содержание Решетка Браве Ячейка Вигнера-Зейтца Кристаллическая структура Преобразования и группы симметрий Кристаллические системы (сингонии) Симметрия кристаллов Обратная решетка Условия Лауэ и Вульфа-Брэгга Индексы Миллера Дифракционные методы исследования структуры твердых тел 0 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Кристаллическое состояние твердого тела Среди конфигураций, реализующих минимум эффективной потенциальной энергии, имеются такие, в которых положения равновесия атомов образуют упорядоченные (периодические) пространственные структуры, соответствующие кристаллическому состоянию вещества. Согласно классическим представлениям, устойчивым состоянием твёрдого тела является кристаллическое. Аморфное тело находится в метастабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллическое состояние, но время кристаллизации очень велико. 1 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Решетка Браве Дискретная совокупность точек (узлов решетки с радиус-векторами R n ): Где n принимают любые целочисленные значения, а 1,2,3 – любые три вектора не лежащие в одной плоскости и называемые 2 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ R n =n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3 векторами основных трансляций. На рисунке изображена двумерная косоугольная решетка Браве

Элементарная ячейка решетки Браве Область пространства, которой можно заполнить все пространство без перекрытий и промежутков, если подвергнуть ее трансляциям на все возможные вектора R n. Примитивная ячейка имеет минимальный объем и содержит как минимум один узел решетки. Элементарная ячейка называется условной, если заполняет пространство без перекрытий и промежутков при трансляциях на векторы, образующие некоторое подмножество из совокупности векторов R n. 3 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Элементарная ячейка решетки Браве 1 и 2 – примитивные ячейки 3 – условная ячейка 4 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Ячейка Вигнера-Зейтца Вигнером и Зейтцем был предложен способ построения примитивных ячеек, которые обладали бы полной симметрией решетки Бравэ. Этот способ состоит в том, что произвольно выбранный узел решетки Бравэ соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами; затем проводят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середину. В результате получают замкнутую область пространства с центром в выбранном узле, все точки которого лежат ближе к нему, чем к любому другому узлу решетки. 5 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Построение ячейки Вигнера-Зейтца 6 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 1) Соединить любой из узлов со всеми остальными; 2) Построить плоскости, перпендикулярные к этим отрезкам и проходящие через их середины; 3) Выбрать наименьший многогранник, очерченный построенными плоскостями.

Построение ячейки Вигнера-Зейтца 7 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ Аналогично можно построить ячейку Вигнера- Зейтца для различных типов кристаллических решеток: - двумерный случай ОЦ ячейки - для объёмно-центрированной кубической ячейки - для гранецентрированной кубической ячейки

Кристаллическая структура Кристаллическая структура – решетка Браве с базисом. Кристаллическую структуру можно так же представить как несколько решеток Браве, получающихся из исходной решетки трансляциями на все возможные векторы базиса. В узлах решетки, смещенной на вектор r s, расположены атомы, занумерованные индексом s. 8 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Кристаллическая структура Примеры кристаллической структуры 9 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Преобразования симметрии Трансляции (T n, R n ): Точечные – Повороты (C m, φ=2π/m) – Отражения (σ) Комбинации – Поворот + отражение (S m ) – Инверсия (I) Виды симметрии – если при выполнении преобразований сохраняется симметрия, то система имеет : – Ось симметрии m-го порядка при C m – Зеркально поворотная ось m-го при S m 10 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Группы симметрии Преобразования симметрии образуют группу симметрий при выполнении четырех аксиом: Определена операция умножения: fg=h Есть ассоциативность умножения: f(gh)=(fg)h Существует единичный элемент e: ef=f Существует обратный элемент f -1 : f -1 f=ff -1 =e 11 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Группы симметрии Конечная и бесконечная группы: – Содержит конечное или бесконечное число элементов Абелева группа: – Операция умножения коммутативна: fg=gf Точечная группа: – Включает в себя только точечные преобразования Пространственная группа: – Включает в себя только пространственные преобразования 12 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Классификация решеток Браве Удобней всего выбирать (в общем случае) условную элементарную ячейку в виде наименьшего параллелепипеда, построенного на векторах, являющихся линейными комбинациями векторов основных трансляций и обладающего полной точечной симметрией. Обычно длины ребер обозначают как a, b, и c, а углы между ребрами α, β и γ. 13 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Классификация решеток Браве [П] – Простая – узлы расположены в вершинах параллелепипеда, выбранного в качестве элементарной ячейки; [ОЦ] – объемоцентрированная - узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в его центре; [ГЦ] – гранецентрированная - узлы расположены в вершинах параллелепипеда, в центре его граней и в центре пересечения диагоналей соответствующих параллелограммов. [БЦ] – базоцентрированная - узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в центрах двух его противоположных граней. 14 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Кристаллические системы Разбиение на кристаллические системы выполняется в зависимости от набора элементов симметрии, описывающих кристалл. Такое деление приводит к семи кристаллическим системам: Кубическая (a=b=c, α=β=γ=90 о ) Тетрагональная (a=b, bc, α=β=γ=90 о ) Гексагональная (a=b, bc, α=β=90 о, γ=120 о ) Ромбическая (a b c, α=β=γ=90 о ) Тригональная (a=b=c, α=β=γ 90 о ) Моноклинная (a b c, α=β=90 о, γ 90 о ) Триклинная (a b c, α β γ) 15 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Кристаллические системы 16 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ Кубическая Тетрагональная Ромбическая Моноклинная Триклинная Тригональная Гексагональная

Кристаллические системы 17 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Кристаллические системы Текст внутри Clear Sans 18 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Симметрия кристаллов В кристаллических решетках атомы представляются в виде сфер конечных радиусов, расположенных на расстоянии, обеспечивающим их касание без пересечения. Координационное число – одинаковое число ближайших атомов для любого узла решетки Браве. Коэффициент упаковки – относительная доля объема, занятая сферами. 19 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах Падающая на атом вещества электромагнитная волна рентгеновского излучения вызывает индуцированные колебания электронов. При этом излучается электромагнитная волна с той же частотой, с какой происходят колебания. Излучаемая электроном волна имеет сферический фронт, в центре которого находится осциллирующий диполь. Таким образом, волна рассеивается по всем направлениям. Этот процесс поглощения энергии падающего излучения и отдачи этой энергии при испускании сферической волны той же длины называется когерентным рассеянием падающего излучения. 20 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Обратная решетка Удобная абстракция, позволяющая математически просто описать условия протекания того или иного явления в твердом кристаллическом теле. Между векторами элементарных трансляций и параметрами обратной решетки существует вполне определенная связь. В кристаллической решетке элементарная ячейка определяется тремя элементарными векторами a 1, a 2, a 3, а обратная решетка будет задаваться векторами b 1, b 2, b ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Обратная решетка b 1,b 2,b 3 - векторы основных трансляций в решетке: g 1 =l 1 b 1 +l 2 b 2 +l 3 b 3, которая является обратной к решетке: R m =m 1 a 1 +m 2 a 2 +m 3 a 3 22 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Зоны Бриллюэна Отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. – на кристаллической решётке дифрагируют только те лучи, волновой вектор которых оканчивается на границе зоны Бриллюэна. 22 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ - зонами Бриллюэна обуславливается возникновение запрещённых и разрешённых энергетических состояний. Это связано с выполнением условий Брегговского отражения на границах зон Бриллюэна.

Условие Лауэ Лауэ определил условия, при которых возникают интерференционные максимумы при рассеянии излучения на узлах кристаллической решетки. Дифракционный максимум наблюдается при изменении волнового вектора на произвольный вектор обратной решетки k=k+g 1 Рассеяние плоской электромагнитной волны, удовлетворяющее условию дифракции Лауэ можно представить как зеркальное отражение волны от перпендикулярных вектору атомных плоскостей, при котором выполняется условие дифракции Вульфа-Брегга. 23 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Закон Вульфа-Брегга 24 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Индексы Миллера Кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат. Таким образом, возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости: – плоскость пересекает три оси – плоскость пересекает две оси и ll третьей – плоскость пересекает одну ось и ll двум другим 25 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Индексы Миллера 26 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ Кристаллографические плоскости одного семейства находятся на равных расстояниях друг от друга. Кратчайшее расстояние между этими плоскостями, измеренное по нормали к ним, называется межплоскостным расстоянием и обозначается d HKL Индексы Миллера – компоненты наименьшего вектора обратной решетки G 1 =kb 1 +lb 2 +mb 3, перпендикулярного данной плоскости.

Индексы Миллера 27 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ Символы основных плоскостей в кубической решетке:

Экспериментальные методы исследования кристаллической структуры 28 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Дифракционные методы исследования Для определения атомно-молекулярной структуры твердых тел используют дифракционные методы. Их классификация связана с видом используемого излучения. – Рентгенография – Электронография – Нейтронография Эти методы основываются на том, что волны, проходя через кристаллическое вещество, испытывают дифракцию, т. к. кристаллическая решетка со средними межатомными расстояниями порядка 1 А является для них дифракционной решеткой. 29 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Рентгенография Рентгеновское излучение при прохождении через кристалл взаимодействует с электронными оболочками атомов, и дифракционная картина отражает распределение электронной плотности ρ в веществе, которую можно характеризовать как функцию координат ρ(x,y,z) 30 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Электронография Электронография использует электроны таких энергий, что они взаимодействуют не с электронными оболочками, а с электростатическим полем атома φ(x,y,z). Такое взаимодействие значительно сильнее, чем в случае рентгеновского излучения, поэтому интенсивность дифракции электронов примерно в 10 6 раз больше, чем для рентгеновских лучей. 31 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Нейтронография В методе нейтронографии нейтроны взаимодействуют с дельтообразным потенциалом ядерных сил δ (x,y,z). Интенсивность дифракции примерно в 100 раз меньше, чем для рентгеновского излучения. Однако метод обладает тем преимуществом, что с его помощью легко выявляется различие атомов с близкими порядковыми номерами в таблице Менделеева, что трудно сделать методами рентгенографии и электронографии. 32 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Метод Лауэ Немонохроматический пучок рентгеновских лучей направляется на неподвижно закрепленный монокристалл. Каждое пятно на лауэграмме соответствует плоскости решетки, ориентация которой полностью определяется направлением дифракционного луча. 33 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Метод вращения монокристалла Монокристалл вращается вокруг какой-либо фиксированной оси, направление которой заранее найдено методом Лауэ, в монохроматическом пучке рентгеновских лучей или нейтронов. Этот метод позволяет выяснить структуру кристалла (установить форму и периоды элементарной ячейки). 34 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Спасибо за внимание