В. И. Дихтяр МАТЕМАТИКА Российский университет дружбы народов Институт гостиничного бизнеса и туризма Раздел 1. Основы математической логики, функции, линейная алгебра Тема 102. Отношения и функции Москва 2011

Э КВИВАЛЕНТНОСТЬ (x ~ y) рефлексивность+ транзитивность+ Симметричность система ρ-классов эквивалентности есть разбиение 2

Ч АСТИЧНЫЙ ПОРЯДОК (x y) рефлексивность+ транзитивность+ антисимметричность (х < у) (х у), х у: x предшествует y y покрывает x: х < у и не существует [z х < z < у] 3

Д ИАГРАММА ОТНОШЕНИЯ элементы X изображаются точками х < у у ставится выше х у покрывает х y соединяется c x отрезком 4

П РИМЕРЫ 1. ρ: на Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 2. ρ: делимости на том же множестве 5

Ф УНКЦИИ F ИЗ X В Y 6 правило: x X ставится в соответствие единственный y Y X = область определения = D f x X = аргумент функции Y = область значений = E f y Y = значение функции

Ч ИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ f: R D f E f R Способы задания: аналитический табличный графический 7

Ч ЕТНОСТЬ / НЕЧЕТНОСТЬ (внутренняя симметрия) f четная: D f симметрична относительно 0 f(-x) = f(x), x D f f нечетная: D f симметрична относительно 0 f(-x) = -f(x), x D f 8

М ОНОТОННОСТЬ x 1, x 2 Df, будем считать: х 1 х 2 a) f(x 1 ) f(x 2 ) f не убывает b) f(x 1 ) f(x 2 ) f возрастает c) f(x 1 ) f(x 2 ) f не возрастает d) f(x 1 ) f(x 2 ) f убывает 9

П РИМЕРЫ 10

О ГРАНИЧЕННОСТЬ f ограничена M 0:f(x) M x Df f ограничена сверху на множестве A Df M: f(x) M x A; ограничена снизу M: f(x) M x A 11

П ЕРИОДИЧНОСТЬ f периодическая Т > 0 | (период) a) x Df : (x T) Df b) f(x+T)= f(x) x Df 12

К ОМПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ f: X Y; g: Y Z композиция g o f h h: X Z: z = h(x) = g(f(x)) 13

О БРАТНАЯ ФУНКЦИЯ F -1 f взаимно однозначная функция f: x y y = f(x) y x x = g(y) (f -1 ) -1 = f 14

Л ИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ y = kx+b D f = R, E f = R, график – прямая линия. k - угловой коэффициент | b | = расстояние от (0;0) до точки пересечения прямой с осью Oy 15

16

Г ИПЕРБОЛА Y = K / X D f = R \ 0, E f = R \ 0, график – гипербола: k > 0 f в I и III четвертях, монотонно убывает k < 0 f во II и IV четвертях, монотонно возрастает функция нечетная, гипербола симметрична относительно (0;0) 17

18

К ВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ y = ax 2 + bx + c D f = R, Е f = R M, график – парабола: точки пересечения с осью Ox определяются из уравнения (если существуют): ax 2 + bx + c = 0 a > 0 ветви параболы направлены вверх a > 0 вниз координаты вершины (точки mах или min) M( -b/2a ; c - (b 2 /4a)) 19

20

Т РИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ y = sin x, y = cos x D f = R, Е f = [-1; +1], графики – синусоида, косинусоида, y = sin x – нечетная функция, у = cos x – четная функция, функции периодические, T = 2. 21

22

П ОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ y = a x, a 0, a 1 D f = R, Е f = (0; + ), проходят через точку P(0, 1) а > 1 y возрастающая функция; 0 < а < 1 убывающая; Ох график неограниченно приближается, но никогда не пересекается (асимптота) a xy = (a x ) y a x+y = a x a y 23

24

Л ОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ y = log a x D f = (0; + ), Е f = R, все графики проходят через точку P(1, 0); функция возрастающая; y = log a x x = a y log a 1 = 0, log a (a x ) = x, log a (xy) = log a (x) + log a (y), log a x b = b log a x 25

26