Теория пластин Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) Расчет пластин с ребрами жесткости Пластина на упругом основании Уравнение движения пластины

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) В теории СП. Тимошенко есть противоречия: эпюра напряжений и имеет вид (рис.1,а) Рис.1 Распределения касательных напряжений поперечных сдвигов по теории Тимошенко (а) и теории Амбарцумяна (б) Согласно модели Тимошенко на свободной поверхности (z=±h/2) возникают отличные от нуля напряжения, что не соответствует действительности. Предположим, что напряжения изменяются по толщине вдоль оси z по сложному закону, но так, что (1)

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) В этом случае функции τ хz (x,y,z) и τ yz(x,y,z) можно представить в виде τ хz =f(z)φ(x,y) (2) τ yz =f(z)ψ(x,y) при этом функция f(z) выбирается так, чтобы удовлетворить условиям в напряжениях на поверхности пластинки, а функции φ и ψ считаются неизвестными, подлежащими определению. Выберем функцию f(z) в форме параболы (рис.1,6) (3) тогда, используя закон Гука, получим (4)

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) Используя гипотезу о неизменной длине нормали (5) получим w=w(x,y) прогиб есть функция двух аргументов х и у. Используем геометрические соотношения для γ xz и γ yz : (6) Интегрируем уравнения с учетом того, что U/ z=0 =0 = 0, v/ z=0 =0 (7)

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) где (8) аналогично (9) Таким образом, для определения поля перемещений пластинки необходимо определить функцию прогиба w(x,y) и функции φ(х,у) и ψ(x,y). Подставляя функции и и v в геометрические соотношения, получим (10)

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) Для определения напряжений σ х, σ у, τ ху используем соотношения закона Гука (11)

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин (теория Амбарцумяна) Определим изгибающие и крутящий моменты и перерезывающие усилия в пластине: (12) (13) (14) (15) Подставляя выражения для моментов и усилий в уравнения равновесия, получим систему трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно w, φ, ψ.

Расчет пластин с ребрами жесткости Рассмотрим пластину (рис.2), усиленную ребрами жесткости в направлениях х, у. Расчет такой пластины можно выполнить как расчет Рис.2. Пластина с ребрами жесткости пластины с эффективными жесткостями Δх, Δу, Δ*. Пусть ребра, параллельные оси х, имеют жесткость на изгиб EJ 1 и кручение GJp 1 расстояние между ребрами b 1. Ребра, параллельные оси у, имеют жесткости EJ 2 и GJp 2, расстояние a 1. Если изгибающие и крутящие моменты, возникающие в стержнях, условно распределить равномерно по длине шага, то эффективные жесткости пластины будут иметь вид

Расчет пластин с ребрами жесткости (16) Если Δх= Δу= Δ*=0, то уравнение (17) опишет поведение сетчатой панели.

Пластина на упругом основании Введем обозначения: q(x,y) - внешняя нагрузка, r(х,у)- реакция упругого основания (рис.3). Рис.3 Пластина на упругом основании Дифференциальное уравнение примет вид: (18)

Пластина на упругом основании Реакцию упругого основания часто определяют по модели Винклера в предположении пропорциональности реакции прогибу пластины (19) где к - коэффициент жесткости упругого основания или коэффициент постели, к пропорционален отношению (20) где E,v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала основания. Аналогичные уравнения могут быть получены для описания деформирования балки на упругом основании. Для этого в дифференциальном уравнении обычной упругой балки (21) полную нагрузку q надо положить равной (22)

Пластина на упругом основании (23) где q 0 - внешняя нагрузка, реакция основания, к - коэффициент постели, b - ширина балки. Таким образом, балка оказывается нагруженной кроме внешних сил также реакцией со стороны основания, причем эта реакция пропорциональна прогибу балки. В результате получим дифференциальное уравнение балки на упругом основании (24) В случае балки постоянного сечения интегрирование этого уравнения не представляет особых затруднений (25)

Уравнение движения пластины Дифференциальное уравнение имеет вид (26) для установившихся колебаний q=q(x,y)sinwt, где w - частота вынуждающей нагрузки (рис.4). Если искать решение уравнения в виде w = w(x,y)sinwt, то получим уравнение (27) Уравнение при к > 0 имеет единственное решение Если к < 0, то решение может быть единственным или не существует, при определенных значениях. Соответствующие частоты w, при которых нарушается единственность решения, называются собственными частотами или резонансными.