Система подготовки к ЕГЭ по математике Рулева Т.Г.(идентификатор ) – учитель математики МОУ СОШ 42 г. Петрозаводск Республика Карелия Решение задач на смеси, растворы и сплавы

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.

У учеников задачи на смеси вызывают затруднения. Дело в том, что таким задачам в школьном курсе уделяется мало внимания. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ и вступительных экзаменов в вузы.

«Закон сохранения объема или массы» Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V 1 + V 2 – сохраняется объем; m = m 1 + m 2 – сохраняется масса. Примеры: Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди. Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.

Немного теории Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.) Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1.

Задача 1

Задача 2

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11? По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава. Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение *х + * у = * 1 Аналогично массу серебра и получаем уравнение * х + * у = * 1 Записываем одну из систем: х + у = 1 х + у = х + у = 1 х + у = Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875 Ответ: 125 г золота и 875 г серебра. Золото: Серебро = 3: 7 Золото: Серебро = 5: 11 Золото: Серебро = 2: 3 Х кгУ кг

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди? 1. Изобразим сплавы в виде прямоугольников М С М С + = х(г) (200 –х) (г) 200 (г) 0,15 х + 0,65(200 – х) = 0,3 *200 х = Обозначим М С М С + = х(г) у(г) 200(г) х + у = 200 0,15 х + 0,65 у =0,3 *200 х = 140 и у = 60 Ответ: 140 г меди и 60 г свинца 15% 65% 30% 15% 65% 30%

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? Решение 1: аналитическая модель. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150 Решение 2: с использованием графика. Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x) x =150 Ответ: 150 г 30% и 450 г 10% раствора П (%) x m(г) S 1 = S 2 S1S1 S2S2 600

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля? С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников) 10*х = 25*(140 – х) х = – 100 = 40 Ответ: 100 т и 40 т n (%) x m(г) S 1 = S 2 S1S1 S2S2 140

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%? Найдем массу соли в 30 кг морской воды: 30*0,05 = 1,5 (кг) Пусть надо добавить х кг пресной воды. (30 + х) кг – масса морской воды после добавления пресной. 1,5/(30+х) – концентрация соли в морской воде после добавления пресной воды. По условию, концентрация соли в воде после добавления стала 1,5%=0,015. Составим уравнение: 1,5/(30+х)=0,015 0,015(30 + х)=1,5 х = х 0 Следовательно, 70 кг пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли была 1,5%. Ответ: 70 кг пресной воды. Соль, кг Раствор, кг Концентрация 1,5305% = у/30, у=1,5 1,530 + х 1,5%= 1,5/(30+х)

Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5 л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты. Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45 л «чистой» кислоты. При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2 л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55 л «чистой» кислоты. Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен? Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/

Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт? Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен /8 1 1/10

Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава. Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему: Получаем: (864 – х) : (х – 600) = 75 : – 2 х = х – 600 х = 776. Ответ: сплав 776-й пробы.

«Правило креста» При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей: Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора H 3 PO 4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Аналитическая модель: Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08 Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06 х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди. Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение: 0,06 х + 0,11(20 - х) = 20*0,08. Решив уравнение, получим х = 12. Ответ: 12 т руды с 6% содержанием меди

От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков? Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления 0,6(3-х) + 0,8 х и 0,8(2-х) +0,6 х =, х = 1,2 Ответ: 1,2 кг 1,8+0,3 х 23 m м (кг) m c (кг) 1,6-0,2 х

Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально? Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2 х – 11, а его содержание меди составляет р = процентов. Поскольку «бедность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем: =, х = 22,5 Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни. р р

В бидон налили 4 л молока трехпроцентной жирности и 6 л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Обозначим искомую величину за Х. По правилу квадрата получим: Составим пропорцию: =, х = 4,8 Ответ: 4,8 % - жирность молока х х 6 х - 3

Задачи для самостоятельной работы 1. К 200 г раствора содержащего 60% соли, добавили 300 г раствора, содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? 2. В лаборатории имеются растворы с массовой долей хлорида натрия 10% и 20%. Какую массу каждого раствора надо взять для получения раствора с массовой долей соли 12% массой 300 г? 3. К 400 г 20% раствора добавили 120 г соли. Сколько процентов соли содержит получившийся раствор?

Задачи для самостоятельной работы 4. К 30 кг морской воды, содержащей 5% соли добавили 70 кг пресной воды. Сколько процентов соли содержится в полученной воде? 5. На предприятии доля сотрудников с высшим образованием составляла 80%. После того как на работу было принято 30 новых специалистов с высшим образованием, их доля увеличилась до 85%. Сколько всех сотрудников теперь работает на предприятии?

С 2004 года изменился характер текстовых задач в КИМах ЕГЭ. Стали включаться задачи, сюжеты которых близки к реальным ситуациям (экономическим, финансовым, деловым, игровым, и пр.) Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др. В таких задачах были представлены различные типы сюжетов: «на сплавы и смеси», «на концентрацию», «на покупки», «на проценты».

Тренировочные варианты ЕГЭ и задачи на смеси и сплавы 1. Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. 100% 2 100% 6 20% 40% 100% 2+6 0,4+2,4 35% цинка в получившемся сплаве, значит меди – 65%. Ответ: 65% меди в новом сплаве. 2,4 0,4 35%

Тренировочные варианты ЕГЭ и задачи на смеси и сплавы 2. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Решение: В 100 г 9%-го раствора содержится 9 г уксуса. Если 9 г уксуса составляют 2% раствора, то вся масса раствора равна (9:2)*100 = 450(г). Значит, надо добавить 450 – 100 = 350(г) воды. Ответ: 350 г воды

Тренировочные варианты ЕГЭ и задачи на смеси 3. Объемы ежемесячной продажи компьютеров в первом, втором и третьем магазинах относятся как 7: 5: 10. В связи с сокращением торговых площадей планируется уменьшить месячную продажу компьютеров в первом магазине на 11% и во втором – 15%. На сколько процентов нужно увеличить месячную продажу компьютеров в третьем магазине, чтобы суммарный объем продаваемых за месяц компьютеров не изменился?

Решение задачи 3 Обозначим объемы продаж в первом в первом, во втором и третьем магазинах 7 х, 5 х и 10 х соответственно. Тогда намечаемый объем продаж в первом и втором магазинах будет 0,89*7 х и 0,85*5 х соответственно. Пусть требуемый объем продаж в третьем магазине равен у*10 х. Получаем уравнение 0,89*7 х + 0,85*5 х + у*10 х = 7 х + 5 х+ 10 х. Отсюда 10 у = 22 – 0,89 * 7 – 0,85*5, т.е, у = 1,152. Значит, объем продаж в третьем магазине надо увеличить на 0,152 прежнего объема, т. е, на 15,2%. Ответ: 15,2

Задачи из ЕГЭ ( г.г.) 1. В бидон налили 7 литров молока однопроцентной жирности и 3 литра молока шестипроцентной жирности. Какова жирность полученного молока (в процентах)? 2. В трех литрах воды размешали 5 чайных ложек удобрения, а в семи литрах- две. Оба раствора слили в один и получили раствор нужной концентрации. Сколько чайных ложек удобрения нужно размешать в 30 литрах воды для получения раствора удобрения такой же концентрации? 3. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определите массу нового сплава. 4. Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 3:7:10. Массу первого вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не изменилась? 5. У кузнеца имеется два одинаковых по массе бронзовых бруска. В одном олово составляет 43% массы, а в другом медь составляет 43% массы. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный при переплавке этих брусков?

«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери «При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается». Саллюстий Гай Крисп