§1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.1 Матрицы и их свойства Матрицей размера m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов: Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Если mn, то матрица называется прямоугольной. Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Пример: размера 3 3

называется вектор-столбцом, а матрица A=[a 1 a 2 …a n ] размера 1 n, состоящая из одной строки – вектор-строкой. Матрица размера m 1 вида состоит из одного столбца и В случае квадратной матрицы элементы a 11, a 22,…a nn образуют главную диагональ, а элементы a n1, a n-1 2,…a 1n – побочную диагональ матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы a ij равны 0 называется нулевой матрицей. называется единичной. Матрица Линейные операции над матрицами: 1. сравнение А =В, если у них элементы, расположенные на соответствующих местах, равны.

Матрица -А называется матрицей противоположной А. 2. сложение Для того, чтобы сложить две матрицы A и B (одинаковой размерности) нужно сложить их соответствующие элементы. Пример: Пусть Тогда Для того, чтобы найти разность матриц А и В (одинаковой размерности) нужно из каждого элемента матрицы А вычесть соответствующий элемент матрицы В.

3. умножение на число Для того, чтобы умножить матрицу А на число R нужно каждый элемент матрицы умножить на число. Пример: Пусть тогда

4. умножение на вектор-столбец Для умножения m n матрицы А на вектор-столбец х необходимо, чтобы число столбцов n матрицы А было равно числу элементов вектор-столбца х. Тогда произведение матрицы А на вектор-столбец х обозначается Ах и равно.

Пример: Пусть Тогда

Пусть и m n и n k матрицы (согласованные матрицы) соответственно. Произведением матрицы А на матрицу В называется m k матрица С с элементами с ij равными сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В, т.е. с ij =a i1 b 1j +a i2 b 2j +…+a in b nj, i=1..m, j=1..k. 5. умножение двух матриц

Пример: Найти произведение матриц и Матрица А Т, получаемая из данной матрицы А путем замены строк на столбцы, и наоборот, называется транспонированной. Пример:

1.2 Определители и их свойства Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определителем n-го порядка матрицы А называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак каждого слагаемого определяется специальным правилом. Определители n-го порядка содержат n! членов. = a 11 a 22 - a 12 a 21 – определитель второго порядка. Пример:

Правило треугольника: три положительных члена определителя третьего порядка представляют собой произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Три его отрицательных члена представляют собой произведения элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 -a 11 a 23 a a 12 a 21 a 33 – определитель третьего порядка. «+»«-»

Свойства определителя n-го порядка: 1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы, т.е. 2. Если все элементы некоторой строки матрицы А равны 0, то определитель равен Общий множитель всех элементов строки определителя можно вынести за знак этого определителя. 4. Если в определителе поменять местами две строки, то он изменит знак на противоположный. 5. Если определитель имеет две равные строки, то он равен Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число k. Минором М ij элемента a ij называется определитель (n-1) порядка, получающийся вычеркиванием из определителя n-го порядка элементов i –ой строки и j-го столбца, i, j=1..n. Пример: Алгебраическим дополнением элемента a ij называется число A ij =(-1) i+j М ij. – минор элемента а 23. A 23 =(-1) 2+3 М 23 =(-1)(-6)=6.

A =a i1 A i1 +a i2 A i2 +…+a in A in, i=1..n. 8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки. Формула Лапласа: Пример: вычислить определитель а) по правилу треугольников:

б) используя формулу Лапласа, разложим определитель по элементам третьей строки: A =a 31 A 31 +a 32 A 32 +a 33 A 33,