Мультистабильность пространственной динамики структурированных популяций Матвей Павлович Кулаков, Ефим Яковлевич Фрисман, ИКАРП ДВО РАН, г. Биробиджан I-й международный научный семинар ПОЛУЭКТОВСКИЕ ЧТЕНИЯ «Математические модели в теоретической экологии и земледелии» Посвященный памяти Ратмира Александровича Полуэктова Санкт-Петербург, октября 2014 г.

2 Модели динамики численности Метапопуляция - взаимодействующие локальные группы особей, обменивающиеся мигрантами Пространственное перераспределение особей по ареалу (миграция) способно значительно усложнить динамику всей мета популяции Проблема пространственной синхронизации Нерегулярное и периодическое изменение численности объясняются: - внутрипопуляционными процессами (плотностной-зависимое лимитирование), - периодическим характером действия внешних факторов, - межвидовыми взаимодействиями, - сложным половозрастным составом и т.п. Локальная популяция

3 Системы связанных отображений – простейшая модель динамики пространственно-распределенных популяций (мета популяций) Локальная популяция - популяция с непересекающимися поколениями пространственная динамика может быть описана системой связанных одномерных логистических отображений (решетка связанных отображений) Локальная популяция - популяция, состоящая из нескольких возрастных классов динамику такой мета популяции можно описать системой связанных систем отображений

4 Цель работы: Моделирование пространственно-временной динамики мета популяций с возрастной структурой Предлагается и исследуется математическая модель динамики двух идентичных миграционнойй-связанных двух возрастных популяций с плотностнойй регуляцией рождаемости и миграцией особей старшего возрастного класса Исследуются механизмы и условия, приводящие к синхронизации динамики популяций на сопредельных территориях Разработаны подходы к исследованию условий синхронизации (построение бассейнов притяжений, карт различных динамических режимов с разной степень синхронизации)

5 Модель динамики двух миграционнойй-связанных двух возрастных популяций с плотностнойй регуляцией рождаемости и миграцией особей между старшими возрастными классами и, и – численность младшего возрастного класса и репродуктивной части мета популяции, (1) x (1) y (1) x (2) y (2) aass vv m v – выживаемость старшего возрастного класса, – репродуктивный потенциал популяции, – вклад младшей возрастной группы в лимитирование процесса воспроизводства m – коэффициент миграции репродуктивной части популяции

6 Фазовое пространство можно разбить на два инварианта: - полностью синхронная динамика - не синхронные режимы В системе (1) помимо устойчивого нетривиального состояния равновесия возможно существования устойчивого цикла длины три (колебания с периодом три), реализуемые в зависимости от начальной численности Данные режимы имеют свои бассейны притяжения, для построения которых предлагается методика основанная на показателях синхронизации:

7 1 – 1-цикл, 3 0 – синхронный 3-цикл в обеих частях мета популяции, 3 1, 3 2 – несинхронный 3-цикл с захватом частоты и амплитуды,,, и т.д. – несинхронный 3-цикл с захватом частоты Бассейны притяжения 1- и 3-цикла при b=0.5 на инварианте

8 Бассейны притяжения 1- и 3-цикла и режимов полученных после их бифуркаций при b=0.5 BC D А x y Q3Q3 x z Q3Q3 r=26.7, v=0.03 x y x z Q1Q1 Q1Q1

9 А ВС 1 – область устойчивости нетривиального равновесия 3 0 – синхронный 3-цикл в обеих частях мета популяции Q 0 1 – замкнутая инвариантная кривая вокруг 1-цикла Q 0 3 – замкнутая инвариантная кривая вокруг 3-цикла Бассейны притяжения 1- и 3-цикла и режимов полученных после их бифуркаций при b=0.5 на инварианте

10 Карты динамических режимов и бассейны притяжения 1- и 3-цикла и режимов полученных после их бифуркаций при b=0.99 Синхронные Несинхронные 1 – область устойчивости нетривиального равновесия 2 0, 3 0, 4 0, 6 0 и 2, 3, 4, 6 – синхронные и несинхронные 2, 3, 4, 6- цикл в обеих частях мета популяции Q 0 1 и Q 1 – синхронная и несинхронная замкнутая инвариантная кривая вокруг 1-цикла С 3 – хаотическая динамика на основе 3-цикла

11 Карта динамических режимов и бассейны притяжения при b=20 2 0, и 2 1 – синхронные и несинхронные 2-цикл в обеих частях мета популяции

12 Показано, что популяция с простой возрастной структурой, помимо устойчивого нетривиального состояния равновесия, имеет в своей динамике устойчивый цикл с периодом 3, который при миграции старшего возрастного класса приобретает сложный мульти стабильных характер Несмотря на симметричную миграцию и идентичные популяционные параметры, на сопредельных территориях возможно формирование циклов не только с разными периодами колебаний и фазами колебаний, но различными амплитудами Показано, что сценарии потери устойчивости не тривиального состояния равновесия и цикла с периодом 3 совпадают лишь частично Установлено, что потеря устойчивости и формирование сложных режимов динамики с различной степенью синхронизации зависит от начальной точки итерирования Показано, что при любом вкладе младшей возрастной группы в лимитирование процесса воспроизводства миграционная связь между локальными популяциями сужает область устойчивости, или, по крайней мере, не расширяет ее Выводы: