Площадь криволинейной трапеции 1.10 А-11

Определение производной: Определение первообразной:

Вставьте вместо *

Будут ли первообразными следующие функции для функции

Рассмотрим следующие чертежи аb x y 0 y=f(x) xbа 0 y а bx y 0 y 0 аbx

Определение: Фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей своего знака на отрезке [ a; b ] функции, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] называется криволинейной трапецией. y=f(x) xbа 0 y

Указать криволинейные трапеции, ответ обосновать. y=tg(x) x y 0 1 y=f(x) y 0 аbx 2 y 0 аbx 3 y 0 аbx 4 аb x y 0 5

Как вычислить площадь данной криволинейной трапеции? y=f(x) y 0 аbx 1 аb x y 0 2 Площадь равна произведению полусуммы оснований трапеции на высоту. ?

Площадь криволинейной трапеции

Вычислите площадь криволинейной трапеции 2-мя способами х О у ) Используя формулу площади трапеции из геометрии, получим: 2) Найдите F(x) и вычислите S по формуле S=F(b)-F(a)

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S=F(b)-F(a). аb x y 0 y=f(x) Дано: f – функция непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b] криволинейная трапеция Док-ть: S=F(b)-F(a) S

Доказательство: y=f(x) y 0 аb x x S(x) Выберем между a и b на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию, расположенную левее прямой х=а обозначим ее площадь через S(x). Каждому х из отрезка [a; b] соответствует вполне определенное значение S(x), то есть S(x) можно назвать- функцией, зависящей от х. х=а, то S(a)=0. Если х=b, то S(b)=S (где S-площадь криволинейной трапеции).

, Докажем, что – это площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок[x; x+x] (площадь фигуры заштрихованной на рисунке) y=f(x) y 0 аb xxx то есть

y=f(x) y 0 аb xcxx f(c) Возьмем прямоугольник, равновеликий этой криволинейной трапеции и с длиной х. Верхнее основание этого прямоугольника пересекает график функции в точке с координатами (с ; f(c)).

Найдем С: Тогда Таким образом, мы доказали теорему и в дальнейшем площадь криволинейной трапеции будем вычислять по формуле S=F(b)-F(a)

х О у Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Ответ:

Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции: 1. Изобразить чертеж и убедится, является ли данная фигура криволинейной трапецией 2. Найти первообразную F(x) 3. Применить формулу S=F(b)-F(a)