§2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.1 Системы линейных уравнений Линейной системой m уравнений с n неизвестными х 1, х 2,…х n называется система вида где числа а 11, а 12,…а mn – коэффициенты системы. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Если система не имеет решений, то она называется несовместной. (2.1)

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, система, имеющая более одного решения – неопределенной. Наивысший порядок ненулевого минора называется рангом матрицы и обозначается rang A. называются основной и расширенной матрицами системы, соответственно. Теорема (Кронекера-Капелли): Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Матрицы

Система уравнений (2.1) эквивалентна системе Ах=b, записанной в матричной форме. Если |А| 0, то матрица А называется невырожденной и для нее существует обратная матрица А -1 x = А -1 b. 2.2 Матричный метод где А ij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы. Тогда

Пример: Решить систему уравнений матричным методом. значит А – невырожденная и существует A ij =(-1) i+j М ij.

. 2.3 Правило Крамера Матричное равенство х =А -1 b можно записать в виде откуда с учетом теоремы Лапласа следует, что i=1..n, где = |А|, а i –определитель, полученный из заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Правило Крамера: если определитель системы уравнений отличен от 0, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. Существование этого решения следует из теоремы Кронекера-Капелли, т.к. из соотношения |А| 0 следует, что ранг основной матрицы А равен n, а ранг расширенной матрицы, содержащей n строк, больше числа n быть не может и поэтому равен рангу основной матрицы.

Пример: Решить систему уравнений по формулам Крамера. значит система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера

2.4 Метод Гаусса Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: а) перестановка двух строк матрицы; б) умножение строки на число 0; в) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на число 0; г) транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Поэтому при вычислении ранга матрицы она при помощи элементарных преобразований приводится к матрице В, ранг которой легко находится. Если rang A=rang B, то A B.

Рассмотрим систему линейных уравнений либо к трапециевидному Ее расширенную матрицу элементарными преобразованиями над строками можно свести либо к треугольному виду (2.2)(2.3)

Матрица (2.2) соответствует преобразованной системе В этом случае, начиная с последнего уравнения, находим последовательно значения неизвестных x n, x n-1,…x 1 единственным образом, если c nn 0, … c 22 0, a Если в некоторой i-ой строке все с ij =0, а d i 0, то это свидетельствует о том, что система несовместна, т.к. в данном случае rang([A|b]) rang(A).

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса. Расширенная матрица системы имеет вид: Переставим вторую строку на место первой, первую на место третьей, а третью на место второй, получим: От третьей строки отнимем четыре первых:

К третьей строке прибавим шесть вторых: Матрица приведена к треугольному виду, ей соответствует преобразованная система уравнений: Находим решение этой системы, начиная с последнего уравнения:

Для трапециевидной матрицы (2.3) преобразованная система имеет вид: Отсюда находим Придавая переменным x m+1, x m+2,…x n произвольные значения, находим из системы x m, x m-1,…x 1. Таким образом, метод Гаусса дает возможность не только решить систему, но и ответить на вопрос о ее совместности.

Пример: C помощью метода Гаусса решить систему Т.к. rang(A)=3

Пусть х 4 =2t, t R, тогда: Матрица приведена к трапециевидной форме, ей соответствует преобразованная система уравнений: Находим решение этой системы, начиная с последнего уравнения.