Задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

a b a b Если две скрещивающиеся прямые перпендикулярны, то легко построить общий перпендикуляр. a b 1. Через одну прямую ( a ) проводим плоскость, перпендикулярную второй прямой ( b ). 2. Из точки пересечения прямой с построенной плоскостью опускаем перпендикуляр на прямую

M C A B N В основании пирамиды MАВС лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АС=ВС=4). Ребра МА, МВ и МС равны 8. Найдите расстояние между прямыми АВ и СМ АВС и AМC – равнобедренные, значит, высота является и медианой. Прямая АВ перпендикулярна плоскости MCN, а прямая МС лежит в этой плоскости. Опустим перпендикуляр из точки N на прямую МС в этой плоскости. NK – искомое расстояние (общий перпендикуляр).K

M C A B N K N M22 К С 14 8 h x 8-x Применили теорему Пифагора для прямоугольных треугольников СNK и NKM. Подставим в первое уравнение «–» 2

a a IIa b a b План решения задачи. 1. Через одну прямую проводим плоскость, параллельную второй прямой 2. Через вторую прямую проводим плоскость, перпендикулярную к плоскости 3. Из любой точки прямой опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей.

a a IIa b a b План решения задачи. 1. Через одну прямую проводим плоскость, параллельную второй прямой 2. Вторую плоскость проводим, перпендикулярно к плоскости 3. Из точки пересечения прямой со второй плоскостью опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей. Иногда эти плоскости не надо строить… их надо найти, они уже есть на чертеже.

Треугольники MSD и PCD подобны по двум углам: угол D – общий, SMD и CPD – прямые. Квадрат АВСD со стороной 4 является основанием пирамиды SАВСD. Грань CDS перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Найдите расстояние между прямыми SD и BC,если высота пирамиды SM равна 4 и DM : MC = 3 : 1. А С В D 4P4 3 части 1 часть Плоскость SDA проходит через перпендикуляр AD к плоскости СDS. Значит, плоскость SDA и СDS перпендикулярны. 1. Через прямую SD проходит плоскость ADS, параллельная второй прямой СВ (т.к. СВ II AD, а AD ADS). 3. Из точки С опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей SD. СР – искомое расстояние. как стороны квадрата как стороны квадрата AD DС SM AD SM ABC AD DС AD SM AD SDC DM : MC = 3 : 1, тогда весь отрезок CD – 4 части. По условию сторона квадрата равна 4. СМ = 4:4 = 1 (1 часть) MD = 4:4*3 = 3 (3 часть) S M 4 5 S M C D 4 P 4 5

a a II На рисунке две скрещивающиеся прямые a и b. Через каждую из них проведена плоскость, параллельная другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. На этом утверждении основан метод определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми, как расстояния между плоскостями, проведенными через каждую из данных прямых параллельно другой прямой. b a b a

M О P В пирамиде DАВС все ребра равны. Через Р и К обозначим середины ребер BD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми АВ и РК. a D C A B 60 0 Fa K L a Построим расстояние между параллельными плоскостями. ? О – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СO : OM = 2 : 1. Вся медиана CM– это 3 части. MО = : 3 = (это 1 часть) CО = : 3 * 2 = (это 2 части) 3 a 2 3 a 6 3 a 2 3 a 3 3a3 KL II CO. Тогда по теореме Фалеса: если DK = KC, тогда DL = LO. 3 a 2

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми ВL и MO и, где L середина ребра MC, O центр грани ABC. М C В А E N L 2 1 O Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Построим через прямую BL плоскость, параллельную прямой МО. 2 1 Искомое расстояние равно расстоянию между от прямой МО до параллельной плоскости BNL.H О – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины CO : OE = 2 : 1. Вся медиана CE – это 3 части. EО = : 3 = (это 1 часть) CО = : 3 * 2 = (это 2 части) Тогда по теореме Фалеса: если МL=LC, то ON=NC= : 2 =. LN CE MO CE LN II MO

М C B А E N L 2 1 O 2 1 H А C B 2 1 E H 36 NO Треугольники BNE и ONH подобны по двум углам 36

Опустить перпендикуляр можно из точки B 1 в верхней грани, которая перпендикулярна каждой из параллельных плоскостей. Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. B A F E D A1A1A1A1 F1F1F1F1 D1D1D1D1 В правильной шестиугольной призме АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны. Определите расстояние между прямыми АD 1 и CB 1. B1B1B1B1 E1E1E1E1 В1В1В1В1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 R = a Показать (3) Ответ: 3. N 32 C1C1C1C1 С

Опустить перпендикуляр можно из точки B 1 в верхней грани, которая перпендикулярна каждой из параллельных плоскостей. Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. С B A F E D A1A1A1A1 F1F1F1F1 D1D1D1D1 1 C1C1C1C1 В правильной шестиугольной призме АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 1, найдите расстояние между прямыми АА 1 и CF 1. 1 B1B1B1B1 E1E1E1E1 В1В1В1В1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 2 R = a Показать (3) 32 Ответ: N

a a IIa b a b План решения задачи. 1. Через одну прямую проводим плоскость, параллельную второй прямой 2. Вторую плоскость проводим, перпендикулярно к плоскости 3. Из точки пересечения прямой со второй плоскостью опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей. Иногда эти плоскости не надо строить… их надо найти, они уже есть на чертеже.

В С А А1А1 С1С1 В1В В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 6, найдите расстояние между прямыми АА 1 и ВС Через прямую ВС 1 проходит плоскость, параллельная второй прямой АА 1 (В 1 В II А 1 А, а В 1 В ВСС 1 ). 2. Плоскость А 1 B 1 С 1 перпендикулярна к плоскости ВСС Из точки А 1 опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей В 1 С 1. А 1 K – искомое расстояние. К 1 способ

В С А А1А1 С1С1 В1В1 F Можно было рассмотреть другую плоскость в п Через прямую ВС 1 проходит плоскость, параллельная второй прямой АА 1 (В 1 В II А 1 А, а В 1 В ВСС 1 ). 2. Плоскость АА 1 К перпендикулярна к плоскости ВСС Из точки А 1 опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей KF. А 1 K – искомое расстояние. К 2 способ

a a II Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. a расстоянием между скрещивающимися прямыми. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. b a b

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром. общий перпендикуляр На рисунке АВ – общий перпендикуляр. АВ Но построить общий перпендикуляр в задачах бывает не просто.

С2 С2 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A 1 C. А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В1K NK – искомое расстояние Построим плоскость параллельную прямой АВ и проходящую через прямую CA 1. N L Достроим треугольную призму до четырехугольной призмы. Мы получим призму, в основании которой лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°. Теперь найдем расстояние от прямой АВ до плоскости А 1 В 1 С Рассмотрим отдельно треугольник LNC.

С2 С2 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A 1 C. L СK1 Найдем NK через площадь N NK – искомое расстояние

А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В1K N L Другие чертежи к задаче, разнообразные ракурсы … gif Можно ли было не достраивать до четырехугольной призмы?

a a II На рисунке две скрещивающиеся прямые a и b. Через каждую из них проведена плоскость, параллельная другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. На этом утверждении основана возможность определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми как расстояние между плоскостями, проведенными через каждые из данных прямых параллельно другой прямой. b a b a

Применим этот способ… А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В1K N L С1С1С1С1 С LN K … мы получим тот же треугольник.

NK – искомое расстояние Поэтому расстояние от проекции одной прямой до проекции другой прямой и будет равно длине общего перпендикуляра, т.е искомому расстоянию. Отсюда следует метод: построить плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых и спроектировать на нее обе прямые. Одна из них проектируется в точку: А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В1 L Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Плоскость, перпендикулярная одной из скрещивающихся прямых параллельна общему перпендикуляру к ним. N А общий перпендикуляр, в силу параллельности плоскости проекции, проектируется на нее в натуральную величину. CA 1 CL.АВ N, Построить его не легко, да и не нужно! Постараемся понять суть метода. K

Применим определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Построим плоскость параллельную прямой АВ и проходящую через другую прямую. АВ II CD, SC SDC, значит, АВ II SDC. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD высота SO вдвое больше стороны основания ABCD. Найдите расстояние между прямыми AB и SC, если сторона основания пирамиды равна 17. S А С В D 17 N P Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между прямой АВ и параллельной плоскостью SDC. M NP – искомое расстояние (отмечу, что этот отрезок не общий перпендикуляр наших скрещивающихся прямых) SN = SM SN = SM O 34172

S О M N 17 P S А С В D 17 N P M O Треугольники MSO и MNP подобны по двум углам: угол M – общий, MOS и NPM – прямые

В правильной четырехугольной призме АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 5, найдите расстояние между прямыми АС и ВС 1. А C B С1С1С1С1 А1А1А1А1K5 4 4 N L B1B1B1B1 D1D1D1D1 D 1. Через прямую ВС 1 построим плоскость, параллельную второй прямой АC (т.к. AС II А 1 C 1, а A 1 С 1 ВА 1 С 1 ). 2. Плоскость DBB 1 перпендикулярна к плоскости ВА 1 С Из точки N опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей ВL. NK – искомое расстояние

L N 5 22 B А C B С1С1С1С1 А1А1А1А1K4 N L B1B1B1B1 D1D1D1D1 D 533 Найдем NK через площадь. K

D А В С D1D1 С1С1 В1В1 А1А1 1 Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 1. Найдите расстояние между прямыми АС и ВD Через прямую BD 1 построим плоскость, параллельную второй прямой AC (NF II AC, и NF BND 1 ). 2. Плоскость DBD 1 перпендикулярна к плоскости BND OK – искомое расстояние. 1 O K N F 1 способ

D А В С D1D1 С1С1 В1В1 А1А1 1 1 N Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 1. Найдите расстояние между прямыми АС и ВD Через прямую АС построим плоскость, параллельную второй прямой ВD 1 (NO II BD 1, и NO АСN). 2. Плоскость DBD 1 перпендикулярна к плоскости ANC. 3. OK – искомое расстояние. 1 O K 2 способ 22 3 D1D1D1D1 D 1 B 3 22 O K N

С D1D1D1D1 D 1 B 3 O K D А В D1D1 С1С1 В1В1 А1А1 1 1 N 1 O K N Треугольники BDD 1 и BKO подобны по двум углам: угол B – общий, BKO и D – прямые.

Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 6. Найдите расстояние от ребра DC до диагонали D 1 B куба. D С1С1С1С1 D1D1D1D1 А А1А1А1А1 6 6 В В1В1В1В Через прямую ВD 1 проходит плоскость, параллельная второй прямой DC (т.к. AВ II CD, а AB AВС 1 ). Р 2. Плоскость BCC 1 перпендикулярна к плоскости AВС Из точки С опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей ВС 1. СР – искомое расстояние. С 45 0

Материал взят с сайта Савченко Елены Михайловны