Тема: Объем шара и площадь сферы

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства,С R R R расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (C). Центр сферы (С) Радиус сферы (R) Диаметр сферы (d=2R) Шар – это тело, ограниченное сферой. Центр шара (С)С Радиус шара (R) Диаметр шара (d=2R) R R R

Шар Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы являются так же центром, радиусом и диаметром шара, где О – центр шара, АО и ОВ – радиусы шара и АВ – диаметр шара. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящей через точку М этой оси, является кругом, где М – это центр данного круга, МС( r ) – это радиус этого круга и X – абсцисса точки М.

Шаровой сегмент Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Основанием сегментов является круг, получившийся в сечении. Высотами сегментов являются длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, где АС – диаметр, а АВ и ВС – длины отрезков диаметра.

Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, где R – это радиус шара. Высотой шарового сектора является высота шарового сегмента и она равна h.

Объём шара, шарового сегмента и шарового слоя x yzO V шара = 4 / 3 ПR 3 Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. V ш. Сегмента = Пh 2 (R- 1 / 3 h) V ш. слоя =V ш.сег.1 -V ш.сег.2 Основание сегмента Высота сегмента (h)R

Объём шарового сектора V ш. сектора = 2 / 3 ПR 2 h Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90 о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегментаи конуса. R h

Площадь сферы S сферы = 4ПR 2 R

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на. Решение. Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: Тогда объем шара. Ответ: 4,5. ЕГЭ: В11

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза? Решение. Объем шара радиуса равен При увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз. Ответ: 27. В11

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Решение. Из условия найдем, что радиус такого шара Ответ: 10. В11

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Решение. Радиус описанного шара равен половине диагонали куба:. Поэтому объем шара равен Тогда Ответ: 4,5. В11

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара. Решение. Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как, а площадь поверхности сферы – как 4ПR 2. Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга. Ответ: 12. В11

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза? Решение. Площадь поверхности шара выражается через его радиус как, поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в Ответ: 4. раза. В11

Объем шара равен 288 Найдите площадь его поверхности, деленную на Решение. Объем шара радиуса, откуда Площадь его поверхности: Ответ: 144. В11

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара. Решение. По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь цилиндра, описанного вокруг шара радиусом равна Площадь поверхности шара радиусом равна, то есть в 1,5 раза меньше первой. Площадь поверхности шара тогда равна 12. Ответ: 12. В11

Использованы задачи с сайта Дмитрия Гущина Решу ЕГЭ