Системы линейных уравнений Метод Крамера Метод Гаусса

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы, которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Решение системы совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все ее уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.совместной

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными: Рассмотрим матрицу системы

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Определитель, действие 1 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

Определитель, действие 2 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

Определитель, действие 3 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

Определитель, действие 4 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

Определитель, действие 5 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

Определитель, действие 6 а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33

= а 11 * а 22 * а 33 + а 12 * а 23 * а 31 + а 21 * а 32 * а а 31 * а 22 * а 13 - а 12 * а 21 * а 33 - а 23 * а 32 * а 11

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

КРАМЕР Габриель (Cramer Gabriel ) Крамер - швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Учился и работал в Женеве. Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Член Лондонского королевского общества (1749 г.)

Методы решения системы Прямые методы Метод Гаусса Метод Жордана-Гаусса Метод Крамера Матричный метод Метод прогонки Приближенные методы Метод Якоби (метод простой итерации) Метод Якобиметод простой итерации Метод Гаусса-Зейделя Метод релаксации Многосеточный метод

Литература Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. 6-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, с. Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. М.: Мир, Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. 8-е изд.. М.: Лаборатория Базовых Знаний, Волков Е.А. Численные методы. М.: Физматлит, Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, С