Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики Аппроксимация

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ): m - количество уравнений n - количество неизвестных x 1, x 2, …, x n - неизвестные, которые надо определить a 11, a 12, …, a mn - коэффициенты системы b 1, b 2, … b m - свободные члены (известны) 2

СЛАУ в матричной форме A - матрица системы X - столбец неизвестных B - столбец свободных членов Система СЛАУ называется: квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных однородной, если все её свободные члены равны нулю ( b 1 =b 2 = … =b m =0 ) неоднородной если не все свободные члены равны нулю совместной, если она имеет хотя бы одно решение несовместной, если у неё нет ни одного решения определённой, если она имеет единственное решение неопределённой, если у неё есть хотя бы два различных решения переопределённой, если уравнений больше, чем неизвестных 3

Методы решений СЛАУ Если матрица системы квадратная, и ее определитель 0: Метод Крамера – вычисление определителей матрицы Метод Гаусса – последовательное исключение переменных Матричный метод – метод решения через обратную матрицу Для переопределенных СЛАУ (количество уравнений больше количества неизвестных, т.е. m > n ) система не имеет единственного точного решения, но можно найти «оптимальный» вектор X Метод наименьших квадратов (МНК) 4

Аппроксимация данных Имеется набор экспериментальных данных y i, x i Задача: аппроксимировать экспериментальные данные некоторой функцией f (x i ) например Составим систему линейных уравнений: 5 f1f1 x1x1 f2f2 x2x2 …… fifi xixi …… fnfn xnxn

Метод наименьших квадратов (МНК) Коэффициенты аппроксимирующей функции вычисляются таким образом, чтобы среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от найденной аппроксимирующей функции было наименьшим В матричной форме: Метод наименьших квадратов: 6

Аппроксимация зависимости n(λ) Дисперсионная формула - это аппроксимация, позволяющая описывать зависимость показателя преломления от длины волны n(λ) Для каждой оптической среды определяется набор коэффициентов, значения которых позволяют восстанавливать показатель преломления 7 Пример графика дисперсии для стекла К8

Дисперсионные формулы Формула Герцбергера Формула Зелмейера Формула Шотта Формула Резника 8

Аппроксимация по формуле Герцбергера Система уравнений в матричном виде – известные показатели преломления для длин волн для вычислений достаточно шести известных значений n, но для повышения точности вычисления можно взять больше m – количество известных показателей преломления ( m 6 ) – параметры уравнения Герцбергера 9

Матрица весов Для учета погрешности умножаем обе части уравнения на диагональную матрицу весов: элементы матрицы пропорциональны корню квадратному из погрешностей соответствующих показателей 10 Длины волн Спектральные линии Весовой коэффициент 365,01 нм, 404,66 нм i h 1 434, ,28 нм G g F e d D C ,4 мкм 1 1,5 - 2,6 мкм 0,1

Метод наименьших квадратов Решение системы уравнений при помощи метода наименьших квадратов: 11

Лабораторная работа 4 По формуле Герцбергера рассчитать показатель преломления стекла n λ для трех длин волн Реализовать возможность расчета произвольного показателя преломления для длин волн от 0.3 до 2 мкм результат расчета для стандартных длин волн можно проверить в каталоге стекла GlassBank ( вследствие округления точные значения рассчитанных показателей преломления могут варьироваться в пределах 4-5 знака после запятой Для работы с матрицами воспользоваться библиотекой Boost::uBLAS Задание оценивается в баллах: 8 баллов - выполнение работы + 1 балл - выполнение работы в срок + 2 балла - первому кто сдаст отчет 12