Математический анализ – изучает методы дифференциального и интегрального исчислений. Дифференцирование - нахождение производной (дифференциала) и применение к исследованию функций. Знаю функцию можно увидеть её поведение (график) Интегрирование - действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово integro означает – восстановление. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то можно восстановить функцию.

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 - первообразная для f(х)=3 х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др. Т.к.производная каждой из них равно 3 х 2. Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Основное свойство первообразной функции. Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Геометрический смысл основного свойства первообразной. Графики всех первообразных функции f(x) получаются из любого из них параллельным переносом вдоль оси Oy (рис. 1).

Задача 1. Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех. Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных. F 1 (х) = Sin х-1 F 2 (х) = Sin х F 3 (х) = Sin х+1

Задача 2. Для функции f (х) = 2 х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Задача 3. Будет ли функция первообразной для на интервале ?

Таблица первообразных Функция f(х)Первообразная F(х) ККх + С Х n (n-1, n-целое число)+с 2 +С - + С + С tg х + С - сtg х + С + С 2

Три правила нахождения первообразных 1. Если F есть первообразная для f(x), а G – первообразная g(x), то F+G есть первообразная для f+g. Пример 1: Найти общий вид первообразных для функции f(x)= х 3 + соs x, то F(х) = sin x +С 2. Если F есть первообразная для f(x), а k – постоянная, то kF есть первообразная для kf(х). Пример 2: Найти общий вид первообразных для функции f(x)= 3 sin x, то F(x) = 3 (-cos x) + C = -3cos x + C 3. Если F(х) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем то есть первообразная для f(kх+b) Пример 3: Найти общий вид первообразных для функции f(x)=sin (3x-2), то F(x)=