Линейная функция и ее график

Функция вида y = k x + b. Определение. Функция вида y = k x+ b, где: x – независимая переменная, y – зависимая переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной. Область определения функции: x – любое действительное число. Область значений функции: y – любое действительное число. График линейной функции – прямая. 1 x y 0 1 I II IIIIV

Построение графика линейной функции y = k x + b. Из геометрии известно, что через две точки проходит только одна прямая, поэтому, для того чтобы построить график функции y = k x + b, достаточно построить две точки графика, а затем провести через эти точки прямую. x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 Y = k x + b X Y x 1 задаем, y 1 вычисляем по формуле: y 1 = k x 1 + b y x X1X1 у 1 у 1 x 2 задаем, у 2 вычисляем по формуле: у 2 = k x 2 + b x2x2 у 2 у 2

Построение графика функции y = k x, b = 0. Задаем x 1, вычисляем y 1 : y 1 = k x 1 0 y x x1x1 y1y1 Так как начало координат (точка с координатами x = 0, y = 0) принадлежит графику функции y = k x, то для построения этого графика достаточно найти еще одну точку ( x 1, y 1 ) и провести через эти две точки прямую.

Построение графика функции y = k x при к > 0, b = 0 у = x.k = 1, X y II. K = 2, y = 2 x x y III. K = 0,5; y = 0,5 x x y x y I II 0 2 III 2 4 k1k1 k2k2 I 1 k3k3 1 ) От числа K зависит угол наклона прямой к оси абсцисс (к ОX). Y = k x ) Чем больше К, тем больше угол наклона. 3) При К > 0 и b = 0 прямая проходит через | и ||| четверти.

Построение графика y = k x, k < 0, b = 0. Y=k x I. k = -1, y = -x x 0 2 y 0 -2 II. k = -2, y = -2 x x 0 2 y 0 -4 III. K = -0,5; y = -0,5 x x 0 2 y 0 -1 I II III k1k1 k2k2 K 3 > k 1 > k 2, поэтому угол наклона к осиОХ прямой III больше, чем прямой I и прямой II. Прямые проходят через II и IV четверти. x y к 3 к 3

Построение графика функции y = k x + b, k > 0, b 0. I. Y = 1,5 x - 2 x y I x 0 1 y 0 3 II III. Y = 0,5 x + 1,5 x 0 -3 y 1,5 0 III Прямая I пересекает ось OY в точке A(0; -2), прямая II – в точке O (0; 0), Прямая Y= k x + b пересекает ось OY в точке с координатами ( 0; b ) · · 1 II.Y = 3k прямая III – в точке B ( 0; 1,5 ) y x ,5 A B

Построение графика функции y = k x + b, k 0 I. Y = -1,5 x - 2 x 0 -2 y -2 1 II. Y = -3 x x 0 -1 y 0 3 III. Y = - 0,5 x + 1,5 x 0 2 y 1,5 0,5 y x I II 0 -2 III ,5 1 Прямая I пересекает ось OY в точке (0; -2), прямая II – в точке (0;0), прямая III – в точке (0; 1,5). Прямая y = k x+ b пересекает ось OY в точке с координатами ( 0; b). 2

Построение графика функции y = k x + b, k > 0, k 1 = k 2 = = k n I. Y = 1,5 x + 3 x 0 -3 y 3 -1,5 II. y = 1,5 x x 0 1 y 0 1,5 III. y = 1,5 x - 2 x 0 2 y -2 1 y x , I II III -1, K – коэффициент наклона прямой к оси OY, поэтому, если k 1 = k 2 = = k n прямые параллельны.

Построение графика функции y = k x + b, k < 0, k 1 = k 2 = k 3 = = k n. I. y = -2 x + 1,5 x 0 2 y 1,5 -2,5 II. y = -2 x x 0 2 y 0 -4 III. y = -2 x - 1,5 x 0 -2 y -1,5 2, 5 y x 2 I II III 1,5 0 -2, ,5 -1,5 Прямые параллельны, так как коэффициенты наклона прямых к оси ОУ равны, т. е. к 1 = к 2 = к 4 = -2

Построение графика линейной функции y = b и x = b. I. y= 3, где k = 0, b = 3 или y= 0 x + 3, следовательно, y = 3 при любом значении х, так как 0Х= 0. Таким образом, прямая y=3 параллельна оси ОХ и пересекает ось ОУ в точке с координатами ( 0; 3). II. x = -1,5 рассматривают как функцию x = 0y – 1,5;где x= -1,5 при любом значении y, так как 0Y= 0. Прямая x = -1,5 параллельна оси ОУ и пересекает ось ОХ в точке с координатами (-1,5;0). k = 0, b = 3 y x 0 3Y=3 -1,5 X= -1,5

Исследование графика линейной функции y= k x + b. I. Y = 2 x,. x Y A B C E F D y x 1) Y =0 при x = 0 2) y< 0 при x < 0 3) y >0 при x > 0 при k > 0 I b = 0

Исследование графика линейной функции y = k x + b. y = - 2 x x y y x I. I А В С D E F 1)y = 0, при x = 0 2)y > 0 при x < 0 3) y 0 При K < 0 b = 0

Исследование графика функции y = k x + b, k > 0, b > 0. I. y = 2x +1 y x -2 -1,5 -1-0,5 0 0,5 1 A B C D E F K x -2 -1, ,5 0 0,5 1 y ) y = 0 при х = -0,5 2) y >0 при х > -0,5 3) y

Исследование графика функции у = к х + b, k < 0. y x y = - x + 1, ,5 2 4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 0 -0,5 -1, ,5 2,5 3,5 4 -2,5 x y 4 0,5 4,5 -0,5 -1,5 -2,5 1)y = 0 при х = 1,5 2)у > 0 при х < 1,5 3) y 1,5 A B C D E F K L M 4 I II II.1)y = 0 при х - ? 2)y > 0 при х - ? 3) y < 0 при х - ? I.

Чтение графика функции у = к х + b. x y 0 B 1 1 y = k x + b b = -1 - y = k x - 1 1) 2) B ( 2; 1 ) y = k x = k k = 2 k = 1 3) b = -1, k = 1 y = x -1 I. II. По графику найти числа k и b и записать формулу функции. II

Решите задачи 1). Постройте график функции, заданной формулой Найдите по графику: а) значение у, соответствующее значению х, равному ; б) при каком значении х значение у равно ; в) при каком значении х значения у положительны. 2). В одной и той же системе координат постройте графики функций ;. Что произошло с графиком функции Какой числовой коэффициент повлиял на это ? 3)Функция задана графиком ( см. рис.) По графику определите числа к и b и задайте функцию формулой. y x 0 1 1