Дифференциальные уравнения Срайчук Иван 11 класс КОШ 86

Объект исследования - дифференциальные уравнения первого порядка Предмет исследования - дифференциальные уравнения, методы и приемы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Цель моей работы: Совершенствование уровня математической подготовки, развитие навыков моделирования реальных процессов. Ознакомление с некоторыми вопросами высшей математики, показать прикладные возможности математики

Задачи Провести анализ научной и методической литературы по теме исследования и изучить теоретические основы дифференциальных уравнений. Ознакомиться с основными положениями, методами и приемами решения дифференциальных уравнений первого порядка. Показать практическое применение изученных методов к решению дифференциальных уравнений. Рассмотреть решения некоторых задач по физике, биологии, химии, экономике с помощью дифференциальных уравнений. Научиться составлять дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи

Уравнение, которое содержит аргумент, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы, называется дифференциальным уравнением В общем виде ДУ может быть записано в форме: которую еще называют неявной формой..

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ, в которое входит первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде F(x, y, y') = 0, (2) где F(.,.,.) – известная функция трех переменных, x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция, y' (x) – ее производная

Выражение у= φ(x, C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка если: при всех допустимых значениях C функция y = φ(x, C) является решением уравнения, при любых начальных условиях существует единственное значение константы C = С 0 такое, что функция y = φ(x, С 0 ) удовлетворяет данным начальным условиям φ(x 0, С 0 ) = y 0.

ДУ первого порядка (3) называется ДУ с разделяющимися переменными. Функции f 1 (x) и f 2 (y) будем считать непрерывными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Леонард Эйлер Жозеф Луи Логранж

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x, у) называется однородным, если его можно представить в виде P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции

Однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=zx, тогда dy=zdx+xdz или где – новая неизвестная функция

Примеры решения дифференциальных уравнений Пример 1 Решить уравнение 4 х 3 -у=0. Решение: это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в следующем виде: у= - 4 х 3. Разделив переменные, получаем: dy = 4x 3 dx. Проинтегрируем полученное уравнение: Общее решение уравнения : у=х 4 +С. Ответ: у=х 4 +С.

Пример 2. Решим уравнение. Решение: тождественно преобразуем уравнение : Получившееся дифференциальное уравнение – однородное, т.к. функция, стоящая в правой части уравнения – однородная нулевого измерения. Положим y=zx, тогда Подставим значения у и у в последнее уравнение : Это уравнение – с разделяющимися переменными. Решая его, получаем:.

Чтобы получить общее решение уравнения, в полученное уравнение подставим значение