Учебный курс Основы вычислительной математики Лекция 1 доктор физико-математических наук, профессор Лобанов Алексей Иванович

2 Становление – конец XIX века Карл Рунге

3 Становление – конец XIX века Алексей Николаевич Крылов 1910 год

4 Основные задачи Физические модели – дифференциальные уравнения Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений или систем

5 Проблемы Непрерывная задача – дискретная задача Качество приближения АППРОКСИМАЦИЯ

6 Проблемы Действительное число (бесконечная десятичная дробь) – операции с конечной длиной мантиссы Ошибки округления УСТОЙЧИВОСТЬ

7 Проблемы Корректность постановки – непрерывная зависимость от начальных данных ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ

8 1. Задача численного дифференцирования Пусть задана таблица значений xi. В дальнейшем совокупность точек на отрезке, котором проводятся вычисления, иногда будут называться сеткой, каждое значение xi узлом сетки. Пусть сетка равномерная, и расстояние между узлами равно шагу сетки. Пусть узлы сетки пронумерованы в порядке возрастания

9 Погрешности Машинный эпсилон машинным ε называют наибольшее из чисел, для которых в рамках используемой системы вычислений выполнено 1 + ε = 1

10 Погрешности Пусть u и u* точное и приближенное значение некоторой величины соответственно. Тогда абсолютной погрешностью приближения u* называется величина, удовлетворяющая неравенству

11 Погрешности Относительной погрешностью называется величина удовлетворяющая неравенству Обычно используется запись

12 1. Задача численного дифференцирования Производная Конечная разность (1)

13 1. Задача численного дифференцирования Погрешность формулы (1) Пусть f – проекция на сетку дважды непрерывно дифференцированной функции, тогда

14 1. Задача численного дифференцирования Полная погрешность

15 1. Задача численного дифференцирования Оптимальный шаг дифференцирования

16 1. Задача численного дифференцирования При оптимальном шаге погрешность минимальна

17 1. Задача численного дифференцирования Формула второго порядка (2)

18 1. Задача численного дифференцирования Оптимальный шаг для формулы второго порядка (2)

19 1. Задача численного дифференцирования Метод неопределенных коэффициентов Введем на рассматриваемом отрезке шаблон из нескольких точек

20 1. Задача численного дифференцирования Раскладываем в ряд Тейлора в окрестности x

21 1. Задача численного дифференцирования Система линейных уравнений метода неопределенных коэффициентов …

22 Система 1. Задача численного дифференцирования

23 1. Задача численного дифференцирования Определитель данной матрицы детерминант Вандермонда. Из курса линейной алгебры известно, что он не равен нулю. Тогда существует единственный набор коэффициентов α, который позволяет найти на шаблоне из (1 + l + m) точек значение первой производной с точностью

24 1. Задача численного дифференцирования Для нахождения второй производной можно использовать ту же самую формулу с небольшой модификацией

25 1. Задача численного дифференцирования Система уравнений

26 1. Задача численного дифференцирования доказано следующее утверждение. На сеточном шаблоне, включающем в себя N + 1 точку, с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда можно построить единственную формулу для вычисления производной порядка p (от 1 до N включительно) с точностью не хуже, чем.

27 2. Задача интерполяции Общая постановка Пусть задана совокупность узлов интерполяции или сетка на некотором отрезке [a, b]. Совокупность узлов Сеточная проекция функции f(t) на [a, b], т.е. таблица, эту таблицу задает оператор ограничения на сетку или рестрикции (от английского restriction) R.

28 2. Задача интерполяции Задача состоит в том, чтобы по таблице {f n } восстановить непрерывную функцию. Обозначим ее через F(t). Разумеется, она отличается от исходной функции f(t), причем такое восстановление неоднозначно и осуществляется оператором интерполяции I. Сама функция F(t) называется интерполирующей или интерполянтом. Необходимо оценить потерю информации при действии этого оператора, т. е. величину зависящую от типа оператора интерполяции и свойств f(t), в частности, ее гладкости.

29 2. Задача интерполяции Интерполяция обобщенными полиномами

30 2. Задача интерполяции Интерполяция обобщенными полиномами

31 2. Задача интерполяции Линейная независимость системы функций

32 2. Задача интерполяции Алгебраическая интерполяция

33 2. Задача интерполяции Теорема. Пусть среди сеточных узлов нет кратных. Тогда решение задачи алгебраической интерполяции существует и единственно, т.е. для любой сеточной функции, определенной в N+1 узле, существует единственный полином степени не выше N, принимающий в заданных точках заданные значения.

34 2. Задача интерполяции Доказательство

35 2. Задача интерполяции Конструктивное решение задачи интерполяции – полином в форме Лагранжа Интерполяционный базис

36 2. Задача интерполяции Полином в форме Лагранжа

37 2. Задача интерполяции Оценка производной