« Неопределённые уравнения и алгоритм Евклида» Государственное учреждение образования «Птичская средняя школа» Степук Дарья Александровна 8 класс

Цель: изучить способ решения неопределённых уравнений первой степени с двумя и тремя переменными с помощью алгоритма Евклида. Задачи: 1. Изучить алгоритм Евклида. 2. Изучить метод решения неопределённых уравнений с помощью алгоритма Евклида. 3. Использовать этот метод при решении текстовых задач

Странички истории О нём писали: «Посредством уравнений, теорем Он уйму всяких разрешил проблем: И засуху предсказывал, и ливни – Поистине его познанья дивны». Диофант представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные годы его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно – Александрия, центр научной мысли. Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта.

Диофанта называют отцом алгебры. Он умел решать очень сложные уравнения. Для этого он применял буквенные обозначения и другие приёмы. Биографические данные зашифрованы в виде математической задачи, начертанной на его гробнице.

Здесь погребён Диофант, и камень могильный При счёте искусном расскажет нам, Сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни, В двенадцатой части прошла его юность. Седьмую часть жизни прибавим – пред нами очаг Гименея, Пять лет протекло и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, Скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты Той тяжкой и умер, прожив для науки. Скажи мне, скольких лет достигнув, смерть постигнул Диофант?

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки, Поля Таннри, и это, вероятно, середина 3 в.н.э. До нас дошло 6 книг из 13, которые были объединены в Арифметику. В дошедших до нас шести книгах «Арифметики» Диофанта содержится 189 задач с решениями и пояснениями.

Алгоритм Евклида Существует довольно простой приём, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел: большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее на остаток от первого деления, остаток от первого деления на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольший общий делитель данных чисел.

Например, чтобы найти наибольший общий делитель 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464× , 2464 = 1078× , 1078 = 308× , 308 = 154×2. В остатке при последнем делении нуль; следовательно, наибольший общий делитель 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми.

Неопределённые уравнения Неопределённые уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределённого уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида ах + by = с, где а,в,с – числа, x, y – переменные.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Для решения в целых числах уравнения ах + by = с, где а,в,с - целые числа, отличные от нуля, я рассмотрела несколько теоретических положений, которые позволили установить правило решения.

Алгоритм решения в целых числах уравнения ax + by = c

Решение неопределённых уравнений первой степени с двумя неизвестными с помощью алгоритма Евклида Пример 1: Найдите все целые решения уравнения 76x+112y=18. Решение. 76x+112y=18. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 38 х + 56 у = 9. НОД(38;56) = 2. 9 не делится на 2, значит уравнение не имеет решения. Ответ: решений нет.

Решение неопределённых уравнений первой степени с тремя неизвестными

3) Пусть z = r. 5x+7y=1+11r. Общее решение для этого случая: х =3(1+11r) – 7m, y = -2(1+11r) + 5m, z = r, где r и m - целые числа. 4) Заметим, что =1. Значит тройка чисел х = у = z =1 будет решением уравнения. Ответ: 1)х = k, у = -3(1-5k) + 11t, z = - 2(1-5k) + 7t, где k, t –целые числа. 2) х = -2(1-7c) +11n, y=c, z = -1(1-7c) +5n, где c и n – целые числа. 3) х =3(1+11r) – 7m, y = -2(1+11r) + 5m, z = r, где r и m - целые числа. 4) х = у = z =1.

Задача 2. Портной делает на длинной полосе материи пометки синим карандашом через каждые 28 см, а красным через каждые 23 см, начиная с одного и того же места. Может ли какая-нибудь синяя пометка оказаться на расстоянии 1 см от какой-нибудь красной? Решение. Пусть синих меток – х, а красных меток – у. Тогда 28 х – 23 у = 1 либо 28 х – 23 у = -1. Для решения данных уравнений, воспользуемся алгоритмом Евклида. 28= 231+5,23 = , 5 = ,3 = ,2 = = 3 – 2 = 3 – = 2 3 – 5 = 2 (23 – 5 4) – 5 = 2 23 – (28 – 23) 9 = = = – Таким образом: х = 9, у = 11. Портной сделает 9 пометок синим карандашом и 11 пометок красным, тогда расстояние между отметками будет равно 1 см. Ответ: может. Применение неопределённых уравнений при решении текстовых задач

Заключение. Выводы: В результате работы я изучила теорию неопределённых уравнений, научилась самостоятельно решать сложные задачи, изучила алгоритм Евклида. Я смогу применять знания при решении олимпиадных, конкурсных задач. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на факультативных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к централизованному тестированию, а также для самостоятельного изучения. На примере текстовых задач и математического фокуса я убедилась, что иногда бывает сложно применить для их решения Евклида. Значит есть и другие методы для решения таких уравнений. И уравнения могут быть более высоких степеней. У меня появился интерес к таким уравнениям. Я постараюсь продолжить исследования в данном направлении. Спасибо за внимание!