Научно - практическая конференция «Признаки делимости» Автор работы: Туболева Кристина Игоревна Кочергина Юлиана Евгеньевна Руководитель: Павловская Нина Михайловна. Кемерово 2014

Цель:

алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности. Признак делимости

Определение 1. Целое число a делится на целое число b (b 0 ), если существует такое целое число c, что a =bс. Теорема о делении с остатком. Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что a =bq+ r, где q - целое, а, r - натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0, 1, 2, …, b 1. Заметим, что если остаток r равен нулю, то число a делится на число b. Определение 2. Два числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих натуральных делителей, кроме единицы.

НА 2 На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94, НА 2 На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94, НА 3 На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например: 39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4); НА 3 На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например: 39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4); НА 4 На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например: (56 : 4 = 14). НА 4 На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например: (56 : 4 = 14). НА 5 На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; НА 5 На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; НА 6 На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б четное, = 9, 9 : 3 = 3). НА 6 На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б четное, = 9, 9 : 3 = 3). НА 9 На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например: 1179 ( = 18, 18 : 9 = 2). НА 9 На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например: 1179 ( = 18, 18 : 9 = 2).

НА 10 На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; НА 10 На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; НА 11 На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например: ( = 14 и = 14); ( = 28 и = 6); 28 6 = 22; 22 : 11 = 2). НА 11 На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например: ( = 14 и = 14); ( = 28 и = 6); 28 6 = 22; 22 : 11 = 2). НА 25 На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых нули или составляют число, кратное 25. Например: 2 300; 650 ( 50 : 25 = 2); НА 25 На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых нули или составляют число, кратное 25. Например: 2 300; 650 ( 50 : 25 = 2); Признак делимости чисел на разрядную единицу На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: делится на 10, 100 и Признак делимости чисел на разрядную единицу На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: делится на 10, 100 и 1000.

1 способ: Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь. Например: число первая группа со знаком «+» 689, вторая со знаком «-» 255. Отсюда = 434. Так как 434 : 7 = 62, то делится на 7. 2 способ: Нужно последнюю цифру числа умножить на 2 и вычесть из «числа, оставшегося без последней цифры». Если получившееся число делится на 7, то и само число делится на 7. Например: число последняя цифра 5, значит – 2·5 = последняя цифра 5, значит 6891 – 2·5 = 6881 последняя цифра 1, значит 688 – 2·1 = 686 последняя цифра 6, значит 68 – 2·6 = – делится на 7, значит делится на 7. Признаки делимости на 7

1 способ: Число делится на 13, если знакопеременная сумма чисел, образованных тройками его цифр, взятыми с конца (последнее число со знаком +), делится на 13. Например: число первая группа со знаком «+» 567, вторая со знаком «-» 112. Отсюда = 455. Так как 455 : 13 = 35, то делится на способ: Нужно взять последнюю цифру числа, умножить ее на 4 и прибавить к «числу, оставшемуся без последней цифры». Если получившееся число делится на 13, то и само число делится на 13. Например: число последняя цифра 7, значит ·4 = последняя цифра 4, значит ·4 = 1144 последняя цифра 4, значит ·4 = делится на 13, значит делится на 13. Признак делимости на 13

1 способ: Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Например: число единиц 3, значит ·3=2941 единиц 1, значит ·1=306 единиц 6, значит 30+12·6=102 единиц 2, значит 10+12·2=34 Так как 34 делится на 17, то и делится на 17). 2 способ: Нужно взять последнюю цифру числа, умножить ее на 5 и вычесть из «числа, оставшегося без последней цифры». Если получившееся число делится на 17, то и само число делится на 17. Например: число последняя цифра 3, значит 2905 – 5·3 = 2890 последняя цифра 0, значит 289 – 5·0 = 289 последняя цифра 4, значит 28 – 5·9 = – 17 – 17 делится на 17, значит делится на 17. Признак делимости на 17

Нужно взять последнюю цифру числа, умножить ее на 2 и прибавить к «числу, оставшемуся без последней цифры». Если получившееся число делится на 19, то и само число делится на 19. Например: число последняя цифра 3, значит ·3 = последняя цифра 7, значит ·7 = 1083 последняя цифра 3, значит ·3 = 114 последняя цифра 4, значит ·4 = делится на 19, значит делится на 19. Признак делимости на 19 Признак делимости на 23 Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23. Например: число число состоящее из десятков и единиц 42, значит ·42 = 414 число состоящее из десятков и единиц 14, значит 4 + 3·14 = 46. Так как 46 делится на 23, то делится на 23.

Задача 1 Могут ли числа и быть квадратами каких- либо целых чисел? Решение: Данные числа не могут являться квадратами целых чисел из-за своих последних цифр 7 и 2. Дело в том, что при возведении в квадрат целого числа, последняя цифра может быть равной 1, 4, 9, 6, 5, 0. Ответ: нет. Решение задач:

Задача 2 Найти все пятизначные числа вида 517mn (m, n -цифры), которые делятся на 18. Решение: Из того, что 18 делится на 9 и на 2 получаем, что число 517mn должно делиться на 9 и на 2. Из признака делимости на 2 следует, что n - четная цифра, т.е. n=0, 2, 4, 6, 8. Пусть n =0, и числа имеют вид 517m0. Из признака делимости на 9 следует делимость суммы 517m0 на 9. Следовательно, m может быть равным только 5. Получили число Пусть n= 2, и числа имеют вид 517m2. Из признака делимости на 9 следует делимость суммы 517m2 на 9. Следовательно, m может принимать только значение 3 и получается число Рассмотрев остальные варианты, аналогично находим остальные числа: 51714, 51786, Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786,

Задача 3 Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом фокусе. Загадайте трехзначное число и припишите к нему его же еще раз. Разделите полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложит полученное число разделить на 11, а результат – на 13. В результате получится загаданное число. Например: /7= /11= /13=675

Вывод: Отработали умения и навыки находить делители многозначных чисел. Расширили знания учащихся рассмотрением дополнительного материала по теме.