Как узнать, делится ли одно число на другое, не прибегая к традиционному делению «уголком» и помощи калькулятора?

Тема: «Признаки делимости» «Признаки делимости» Выполнила Громова Ксения, 10 класс, МБОУ СОШ 1,х. Маяк г.

Цель работы: «Найти, изучить и систематизировать признаки делимости».

Задачи: 1. Собрать научную математическую литературу, содержащую материал на тему: «Признаки делимости». 2.Изучить, систематизировать информацию о признаках делимости. 3. Исследовать возможности использования правил при решении практических задач. 4. Создать справочник: «Школьникам о признаках делимости».

Гипотеза Чтобы избежать нудных делений уголком, полезно знать признаки делимости

признак делимости Признак делимости алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Признаки делимости на 2,5,10,3,9,4, 25 Число делится На: Если:Пример 2 оно оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, оканчивается чётной цифрой 6; оно делится на 2. 5 оно оканчивается цифрой 0 или оканчивается цифрой 5; оно делится на оно оканчивается цифрой оканчивается цифрой 0; оно делится на сумма цифр этого числа делится на делится на 3, т.к. сумма цифр 2+8+5= 15, делится на 3. 9 сумма цифр этого числа делится на делится на 9, т.к. сумма цифр = 9, делится на 9. 4 две последние цифры этого числа образуют число, делящееся на ; две последние цифры составляют число 64, оно делится на 4; число 3164 делится на оно оканчивается на 00, 25, 50 или оканчивается на 25; оно делится на 25.

Признак делимости на 8: Число n делится на 8, если на 8 делится трёхзначное число, образованное из трёх последних цифр числа n. Пример. Число на 8 не делится, т.к. трёхзначное число 998, образованное из трёх последних цифр числа, на 8 не делится.

Теорема Паскаля Натуральное число n разделится на другое натуральное число m только в том случае, если сумма произведений цифр числа n на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число m, делится на это число. Пример: число 2814 делится на 7, так как =35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Блез Паскаль (1623–1662) французский религиозный мыслитель, математик и физик внёс большой вклад в изучение признаков делимости чисел.

Признак делимости на 13 Число n делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. Например, число n = 52 делится на 13, так как число = 13 делится на 13. Доказательство: Представим число в виде: n= 10a + b = 10( а + 4b )-39b. Отсюда следует, что числа n и исходное на 13 делятся или не делятся одновременно зависит от суммы а + 4b, а это и есть число, полученное n зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. Применим правило для числа 2002: 2002 (20+24)= 208 (20+84) =52 (5+24) =13. Значит, число 2002 делится на 13.

На: Правило Пример 7 число делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число р = n 0 + 3n 1 + 2n 2 - (n 3 + Зn 4 + 2n 5 ) + …. n 0 n 1 n цифры единиц, десятков, сотен... числа n не делится на 7, поскольку на 7 не делится число р=9+З· = число делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на чётных местах, на величину, кратную делится на 11, потому что (9+9)- (1+6)=18-7=11, делится на Число делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. число n=676 делится на 13,так как число =91, 9+14 =13 19 число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Число 608 делится на 19, так как число =76, 7+26 =19. Признаки делимости 7, 11, 13, 19.

Признаки делимости на 23, 99, 59,101. На Правило Пример 23 число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно делится на 23, так как (3 42) = 414, продолжаем 4 + (3 14) = 46, очевидно делится на число делится на 99 тогда и только тогда, когда сумма групп чисел делится на 99 (в каждой группе по два числа, деление на группы начинается справа налево) 1584 делится на 99, так как 15+84=99, очевидно делится на число делится на 59 тогда и только тогда, когда на него делится число, полученное путём зачёркивания последней цифры и прибавлением к оставшемуся числу ушестерённой вычеркнутой цифры делится на 59, так как = 72865, = 7316, = 767, = 118, = Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Пример, делится на 101, так как =101 делится на 101..

п/ п Признак делимости на:Количество голосов в % и , Остальные признаки 0 КАК ЗАПОМНИТЬ?

«напоминалка» п\п Схожие действия К каким числам применить 1. Группа цифр на конце числа…4, 8,2 n,5 n 2. Сумма цифр… Сумма числа десятков и единиц, увеличенных в несколько раз… 19,29,79,23 4. Зачёркивание последней цифры…13,59 5. Разность или модуль разности …11,31,41 6. Цифры числа разбиваются на группы… 99, 101

Задача Предположим, вы купили в магазине 3 ластика, 6 карандашей и 9 одинаковых тетрадей, а продавец говорит: «С вас за покупку десять рублей». Как сразу обнаружить ошибку продавца?

Олимпиадная задача Доказать, что n 3 +3n 2 +5n+3 делится на 3 при любом натуральном n. Решение: представим многочлен в виде суммы двух слагаемых: n 3 +3n 2 +5n+3=n 3 +3n 2 +2n+3n+3=n(n 2 +3n+2)+3(n+1)=n(n +1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, => оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.

Результаты работы 1. Я создала справочник: «Школьникам о признаках делимости». 2. Составила «Напоминалку» для облегчения запоминания многочисленных признаков. 3. Мой кругозор о числах расширился. 4 Мои вычислительные навыки повысились. 5.«Признаки делимости можно использовать на занятиях кружка, для решения олимпиадных заданий.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ