Метод площадей при решении геометрических задач Выполнил: ученик 10 Б класса МОУ «Лицей 15» им. акад. Ю.Б. Харитона Сулоев Илья Руководитель: Теленгатор С.В. Саров г.

Cодержание

Введение В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи. Один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Свойство Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться. Доказательство: Рассмотрим ABC и ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h - высоте ABC и ADC. Если площадь треугольника находится по формуле S=0,5·a·h, то S АВС =0,5·AC·h, S ADC =0,5·AC·h, S AEC =0,5·AC·h. Значит, S AEC = S ABC =S ADC DBE C A h 1

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты). Доказательство: Пусть h = h в двух треугольниках с основаниями a и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников S 1 :S 2 =(0,5·а·h 1 ):(0,5·b·h 2 ). Упростив, получим S 1 :S 2 =a:b. S2 S1 h 1 =h 2 b a Свойство 2

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. Свойство Доказательство: Рассмотрим ABN и MBC с общим углом B, где AB = a, BN = b, MB = a 1 и BC = b 1. Пусть S 1 = S MBC и S = S ABN. Используя формулу площади треугольника вида S=0,5absinγ, рассмотрим отношение площадей ABN иMBC. Тогда S 1 :S=(0,5·a 1 ·b 1 ·sin B):(0,5·a·b·sin B). Упростив, получим S 1 :S=(a 1 ·b 1 ):(a·b). 3 M a1a1 S1 b1b1 B b N S A a C

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия. Свойство S MBN B N C A M S ABC Доказательство: Рассмотрим ABC и MBN. Пусть AB = k·MB, BC = k·NB и ABC = MBN. Используя формулу площади треугольника вида S=0,5·a·b·sin γ, рассмотрим отношение площадей ABC и MBN. Тогда S ABC :S MBN = (0,5·AB·BC·sin B):(0,5·MB·NB·sin B) = (k·NB·k·MB):(MB·NB)=k². 4

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части. Свойство B C M A S1S2 Доказательство: Рассмотрим ABC, где BM – медиана, тогда AM=MC=0,5·AC. Медиана делит треугольник на два равновеликих. Найдем площади треугольников ABM и MBC по формуле S=0,5·a·h. Получим, S АВМ =0,5·AM·h и S МВС = 0,5·MC·h. Значит, S АВМ =S МВС. 5

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части. Свойство M B A O N K C S1 S2 S3 Доказательство: Рассмотрим ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники AOB, BOC, AOC. Пусть их площади равны соответственно S 1, S 2, S 3. А площадь ABC равна S. Рассмотрим ABK и CBK, они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике AOC OK - медиана, значит, площади треугольников AOK и COK равны. Отсюда следует, что S 1 = S 2. Аналогично можно доказать, что S 2 = S 3 и S 3 = S 1. 6

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади ¼·S. Свойство Доказательство: Рассмотрим ABC. NM - средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если S ABC = S, то S NBM =0,5·NM·h 1 =0,5· (0,5·AC) ·(0,5·h)=0,25·S. Аналогично, можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ABC. 7 N B AC M

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей. M B A O N K C S6 S2 S4 S5 S3 S1 Свойство Доказательство: По свойству 7 площади AOB, BOC, AOC равны. По свойству 5 площади AOM, BOM равны. Значит S 1 = S 6. Аналогично S 2 = S 3. Если S 1 + S 6 = S 2 + S 3 и 2S 1 = 2S 2 значит S 1 = S 2. И так далее. Получим, что все шесть треугольников имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ABC. 8

Утверждение 1 Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания. Утверждение 1 Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания. Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника. A B C D Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S ABD = S BCD

Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S ABE = S, найдите площадь параллелограмма ABCD. A B C D E K Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ||AD. Тогда из задачи 1 следует, что S KBE = S CBE, а S AKE = S ADE. Отсюда, S ABCD = 2S.

Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников. A K B C D E N M Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 SKME = SKMB + SMEC, а SKNE = SAKN + SEDN. Отсюда, SKMEN = SKMB + SMEC + SKNE + SEDN.

Утверждение 2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Задача 4. В параллелограмме ABCD точка К – середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что S KBLD = S, найдите S ABCD. a a b bA B C D L K Решение. Проведем диагональ ВD. Тогда, исходя из утверждения 2, получим, что S ABCD = S.

Задача 5. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. O C A B D Решение. В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь S AOB = S BOC = S COD =S DOA

Задача 6. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС = СD. Пусть М – середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС. A D B M K C Решение. В треугольнике АВD DМ и ВС – медианы. Поэтому SAMD =SBMD и SACB = SCDB. Эти равенства можно записать так: S AMKC + SCKD = S СDK + SBKD, S AMKC + SMBK = SCKD + SBKD Сложив эти равенства и упростив выражение, получим S AMCK = SBKD.

Задача типа С4 на ЕГЭ Медиана BM ABC равна его высоте AH. Найдите угол MBC. A B C H M Решение. Пусть MBC = α. Найдем площадь треугольника АВС двумя способами. Так как медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих треугольника, то S ABC =2S CBM =2·0,5·BC·BM·sinα=BC·BM·sin α С другой стороны, S ABC =0,5·BC·AH. Учитывая, что AH=BM, приравняем площади BC·BM·sin α=0,5·BC·AH. Получаем, что sinα=0,5. Отсюда α=30° или α=150°.

Список литературы. templates.html templates.html