ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Учитель математики ГОУ СОШ 10 Еременко М.А.

Основные задачи урока: Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий

Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. AF CD BF CD AFB-линейный угол двугранного угла ACDВ AF CD BF CD AFB-линейный угол двугранного угла ACDВ

Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1. Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, АОВ= А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами). Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1. Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, АОВ= А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Примеры двугранных углов:

Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Задача 1: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Ответ: 90 o.

Задача 2: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ: 45 o.

Задача 3: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. Ответ: 90 o.

Задача 4: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1. Ответ: 90 o.

Задача 5: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть О – середина ВD. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 ВDС 1.

Задача 6: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что DMB – линейный угол двугранного угла BACD.

Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM AC и DM AC и, следовательно, DMB является линейным углом двугранного угла DACB.

Задача 7: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2, ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0.

Решение: 1)АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α 1)АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α

2) Так как АС ВК, то АС КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ВКВ 1 = ) ВАК: А=30 0, ВК=ВА·sin30 0, ВК =1. ВКВ 1 : ВВ 1 =ВК·sin45 0, ВВ 1 = 2) Так как АС ВК, то АС КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ВКВ 1 = ) ВАК: А=30 0, ВК=ВА·sin30 0, ВК =1. ВКВ 1 : ВВ 1 =ВК·sin45 0, ВВ 1 =

Домашнее задание: Параграф 3, п.22, 167, 169, с.57, вопросы 7-10.