Биквадратное уравнение

«Биквадратное уравнение.» Л Е К Ц И Я Литература : С.М. Никольский и др. «Алгебра : Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений» серии «МГУ – школе».

Уравнение вида, где а, b, c – данные числа и а отлично от нуля, а х –неизвестное, называют биквадратным уравнением. Чтобы решить биквадратное уравнение, вводят новое неизвестное при помощи равенства у = х 2 Тогда исходное уравнение превращается в квадратное относительно неизвестного y.

356. Представьте выражение в виде квадрата: a) х 4 ;б) а 6 ;в) у 8 ;г) m Какую подстановку необходимо выполнить, чтобы уравнение стало квадратным: а) х 4 +2 х = 0; б) m 4 – 3 + 2m 2 =0; в) 4 у 2 – 7 у 4 = 0;г) 15 – х х 2 = 0; д) х 6 – 3 х = 0;е) у 8 – 4 = 0.

Пример 1 Решить уравнение Решение введем новую переменную где у 0 исходное уравнение примет вид: так как то оно имеет два корня. По теореме обратной теореме Виета имеем:

Пример 1 Решить уравнение Решение Обратная подстановка дает: Решив их получим: Ответ:

Пример 2 Решить уравнение Решение введем новую переменную где у 0 исходное уравнение примет вид: так как то оно имеет два корня. Определим корни по формуле

Пример 2 Решить уравнение Решение введем новую переменную где у 0 исходное уравнение примет вид: - исключается Обратная подстановка дает: Ответ:

Пример 3 Решить уравнение Решение введем новую переменную где у 0 исходное уравнение примет вид: Его дискриминант следовательно оно не имеет корней. Тогда и исходное уравнение тоже не имеет корней. Ответ: корней нет.

Пример 4 Решить уравнение Решение введем новую переменную где у 0 исходное уравнение примет вид: Его дискриминант следовательно оно имеет единственный корень. Обратная подстановка дает: Ответ:

Пример 5 Решить уравнение Решение введем новую переменную где у 0 исходное уравнение примет вид: для которого таким образом оно имеет единственный корень Значит исходное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

Замечание 1 Решить уравнение Имеет один корень Ответ: Решить уравнение Решение: Ответ: -1; 0; 1.

Замечание 2 Из рассмотренных примеров видно, что биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два, один действи- тельный корень, но может и не иметь корней. Скоро мы познакомимся с комплексными числами и узнаем, что биквадратное уравнение имеет, вообще говоря, четыре комплексных корня. Впрочем, бывает, что их меньше чем четыре, но в таких случаях считают, что некоторые корни кратные.

Решить номера 358, 359, 360.