Применение графического метода для решения различных математических задач Учитель гимназии 3 Шахова Т. А.

Задача Два джентльмена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый поворачивает и с прежней скоростью идёт обратно. Встречаясь, они каждый раз раскланиваются. Сколько раз они раскланиваются на протяжении первых 25 минут? Сколько времени из этих 25 минут они шли в одном направлении?

Графический способ V c =1000/60= =100/6 м/мин T c =100/(100/6)= =6 мин V Д = 600/60= =10 м/мин T Д =100= =10 мин

Задача 2. Решите неравенство: О. Д. З. 1) 2) Построим графики правой и левой частей неравенства: Предполагаемый ответ:

1) Пусть -2 3 > 1 + log22 > 1 + log2(2 + х), т.е. неравенство не выполнено 2) Пусть -1/2 7 12/5 2, тогда 6 х / (2 х + 1) = 3 – 3 / (2 х + 1) < 3 = log2 х < 1 + log2(2 + х), неравенство не выполнено.

Задача 3. Верно ли, что уравнение имеет один корень? Ответ: нет.

Не верь глазам своим?

Графический метод требует подкрепления аналитическими доказательствами

Выражение представляет собой скалярное произведение вектора и вектора, имеющего абсолютную величину, поэтому принимает наибольшее значение, когда. Задача 4. Среди всех решений системы найти такие, при которых выражение х+а принимает наибольшее значение.

Ответ:

Задача 5 Из города В в город А в 5 ч 30 мин вылетел самолет. В 8 ч 30 мин из А в В вылетел вертолет. Скорость самолета и вертолета на всем пути постоянные и они летят по одной трассе. После их встречи вертолет прибыл в В через 9 ч, а самолет прибыл в А через 2 ч. Найти время прибытия самолета в город А. Направим координатную ось от А к В с началом в А. Отсчет времени производим от момента вылета самолета. Изобразим зависимости х(t) самолета (BD) и вертолета (EN).

CEK~CNM, CDK~CBM Положительный корень p=3 самолет прибудет в А через 8 часов. Ответ: 13 ч 30 мин.

Задача 6 На стоянке находятся машины марок Москвич и Волга. Общее их число менее 30. Если увеличить вдвое число Волг, а число Москвичей увеличить на 27, то Волг станет больше. Если увеличить вдвое число Москвичей, не изменяя числа Волг, то Москвичей станет больше. Сколько Москвичей и сколько Волг находится на стоянке? Решение: Пусть х - Москвичей и у - Волг находится на стоянке. Запишем условие задачи:

Ответ: 10 Москвичей и 19 Волг

Задача 6. Решите неравенство: Решение: О.Д.З. Преобразуем: В соответствие с О. Д. З. умножим на выражение обе части неравенства. Получим или Решим систему неравенств:

Ответ:

Задача 6. При каких значениях параметра а уравнение имеет три различных корня? Перепишем исходное уравнение Рассмотрим функции и Рассмотрев четыре случая, последнюю функцию можно переписать в виде:

График g(x)=x+a семейство прямых, имеющих угол наклона к оси Ох и пересекающих ось Оу в точке с координатой (0;а). Заключаем, что три указанные точки можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции Ответ: а=3