Родионова Светлана Ивановна Учитель математики ГБОУ СОШ 235

Пирамиды

A B C S SABC - тетраэдр

Правильная пирамида

Правильные пирамиды

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды

S В D С А

D С В А

1. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230 м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата. О E S D С В А Решение: 1. AC ВD = О 2. Пирамида правильная SО (АВС) 3. ОЕ АD ОЕ СD 4. SЕ СD (по теореме о 3 перпендикулярах) 5. SОЕ – п\у tg E = SО : ОЕ 6. ОЕ = 0,5АD =115 м 7. SО = ОЕ tg E = 115 1,2 = 138 м Ответ: 138 м.

2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230 м, высота пирамиды 138 м. Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды. О 230 м S D С В А Решение: 1. AC ВD = О 3. Пирамида правильная SО (АВС) 4. SОD – п\у по т. Пифагора DS 2 = DО 2 +ОS 2 = = = = D S 213 м Ответ: 213 м. 2. АОD – п\у, р\б по т. Пифагора АD 2 = DО 2 +ОА 2 2ОD 2 = = ОD 2 = 26450

A B C S SABC – тетраэдр 3. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1? Решение 1. Sпов=4Sтр 2. Sтр = 0,5 а 2 sin60 0 Ответ: 3. Sпов=4 0,5 а 2 sin60 0 = =

4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса, сторона основания которой равна 230 м и высота 138 м. О E S D С В А Решение: 2. AC ВD = О 3. Пирамида правильная SО (АВС) 4. ОЕ СD ОЕ АD 5. SЕ АD (по теореме о 3 перпендикулярах) 6. SОЕ – п\у по т. Пифагора ЕS 2 = ЕО 2 +ОS 2 = = = = Е S ES - высота АSD S АSD = 0,5 ЕSАD = 0, =20700 м 2 Ответ: м 2 1. Sб.пов=4Sтр 8. S б.пов =4S тр = = м 2

5. (устно) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. О S D С В А Решение: 1. AC ВD = О 2. Пирамида правильная SО (АВС) SОD –п\у 4. D = 30 0 Ответ: SD = 2 SO

A B C D M N K α Построение сечений пирамиды

На каких рисунках сечение построено не верно? B А А А А А DDD D D BB B B C C CCC N MM M M M NQ P P Q S

A D C Построение сечения пирамиды 1. Построить сечение, проходящее через вершину D и точки М и N, лежащие на ребрах AB и BC тетраэдра ABCD 1. MN 2. MD 3. DN 4. Искомое сечение - MDN. M N B

ВА С S 2. Постройте сечение пирамиды, плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС. М 1. МА 2. МС 3. АМС - искомое

3. Постройте сечение пирамиды, плоскостью, проходящей через заданные точки. ВА С S К Р F 1. РК 2. КF 3. КF SС = N N 4. РN ВС = D D 5. DF 6. PKFD - искомое

4. Постройте сечение пирамиды, плоскостью, проходящей через заданные точки. А BC D S M N K X P Y Q 1. MN 2. MN ВС = Х 3. КХ DС = Р 4. NP 5. КХ АВ = Y 6. MY AS = Q 7. QK 8. QMNPK искомое

5. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью,проходящей через точки M,N,P, лежащие, соответственно, на ребрах AD,DC и CB тетраэдра. Причем M и N заданы так, что прямые MN и AC не параллельны. A D C В М N Р 1. MN 2. NP 3. MN AC = Q Q 4. PQ AB = S S 5. S M 6. SMNP – искомое сечение

Домашнее задание 1). Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 600. Верно ли это утверждение? 2). Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см. 3). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».

Постройте сечение пирамиды, плоскостью, проходящей через заданные точки. М N K A B C D S Домашнее задание