МБОУ СОШ 20 пос. Зеленый Ногинского района Московской области Симонова Лариса Алексеевна, учитель математики Предел последовательности Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (базовый уровень).

План занятия Определение последовательности Способы задания последовательностей Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия. Ограниченные последовательности: ограниченные сверху, снизу. Монотонные последовательности : убывающие и возрастающие. Свойства монотонности последовательностей y n = q n Окрестность точки Предел последовательности Формулы вычисления пределов последовательностей Свойства пределов последовательностей Правила вычисления пределов Техника вычисления пределов

Геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель (y n ) : 2,4,8… 12, 2 4, 3 8… y(n)= y n = 2 n, nN Арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d – разность (y n ): 2,5,8… 12, 2 5, 3 8… y(n)= y n = 3n-1, nN

Определение. Функцию вида у= f(х), х N называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение: у = f(n) = у n или (у n ): у 1, у 2,у 3,… Примеры. 1) 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; 2) арифметические и геометрические прогрессии, 3) 5,5,5,…-постоянная или стационарная

Способы задания последовательностей Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d - разность геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель Аналитический (формулой n-го члена) у n = n 2 у n = C, где С=const у n = 2 n

Ограниченная последовательность -ограничена и сверху и снизу Пример: -2,3,-2,3,… М=3 или 4, m=-2 или -3 Ограниченная сверху: все ее члены не больше некоторого числа, т. е. у n М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… -n 2,… ограничена сверху, М=-1,0,… Ограниченная снизу: все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. у n m, m- нижняя граница Пример. 1,4,9,16,… n 2,… ограничена снизу m=1,½, …

Монотонные последовательности Возрастающая последовательность: каждый член больше предыдущего,т.е. у n+1 > у n Пример. 1,4,9,16,… n 2,… Убывающая последовательность: каждый член меньше предыдущего,т.е. у n+1 < у n Пример. -1,-4,-9,-16,…-n 2,…

y n =2 n 2,4,8,16,32,…- q= Возрастающая, ограниченная снизу y n =3 n -? q= ? у = q n -, q>1 Вывод ? y n =(1/2) n ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…- q= Убывающая, ограниченная снизу, сверху, т.е. ограниченная y n =(1/3) n -? q= ? у = q n и 0

План конспекта Определение последовательности Способы задания последовательностей Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия. Ограниченные последовательности: ограниченные сверху, снизу. Монотонные последовательности : убывающие и возрастающие. Свойства монотонности и ограниченности последовательностей y n = q n

Вопросы Что называют последовательностью? Какие способы задания последовательностей вам известны? Расскажите определение ограниченной последовательности сверху, снизу, ограниченной? Какие последовательности называют монотонными? Дайте определение возрастающей последовательности, убывающей? Что вам известно о последовательностях у = q n ?

Понятие сходящейся последовательности (у n ): 1,3,5,7,9,…,(2n-1),... Расходится Нет точки сгущения Нет предела (х n ): 1,1/2,1/3,1/4,1/6,…1/n,.. Сходится Точка сгущения-0 Предел последовательности-0

Окрестность точки интервал (a-r, a+r) –окрестность точки a радиуса r. Пример (5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1 (-0,1;0,1)- окрестность точки ?

Предел последовательности Число b-предел последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1) lim у n = b или n 2) у n b

Примеры. (у n ):1,1/2,1/3,1/4,…,в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то у n =1/n 0 (у n ): ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…; в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =(1/2) n 0 (у n ): 2,4,8,16,32,…-нет точки около которой находятся все члены последовательности,начиная с некоторого номера, то y n =2 nнет (у n ): 5,5,5,…, в любой окрестности 5 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =55

Формулы 1) lim 1/n = 0 n 2) lim q n = 0, если 0

Свойства Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Если последовательность сходится, то она ограничена. Обратное-неверно:1,2,3,1,2,3,…- ограниченная последовательность, но она не сходится Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Карл Теодор Вейерштрасс- выдающийся немецкий математик, отец «современного анализа» г. Кратер на Луне Желающим- доклад

Правила вычисления пределов Если lim х n = b и lim у n =c, то n n 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim (х n + у n ) = b+ c n 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim (х n ·у n ) = b·c n 3)Предел частного равен частному пределов: lim (х n :у n ) = b:c n 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim (k· х n ) = k · b n

Техника вычисления пределов Разберите методы вычисления пределов последовательностей по учебнику- стр.143 примеры а) - г).

План конспекта Окрестность точки Предел последовательности Формулы вычисления пределов последовательностей Свойства пределов последовательностей Правила вычисления пределов Техника вычисления пределов

Вопросы Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей. Перечислите правила (теоремы) вычисления пределов последовательностей. Какими приемами пользуются для вычисления пределов последовательностей. Назовите имя выдающегося математика, именем которого названа теорема о свойстве пределов.

Список использованной литературы и интернет-ресурсов А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа классы. Учебник.Базовый уровень. М.Мнемозина А.Г.Мордкович., П.В.Семенов. Методическое пособие для учителя. Алгебра и начала математического анализа класс. Базовый уровень. М.Мнемозина