Прототипы В 14 Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Первый способ (традиционный) предполагает использование алгоритмов и знание формул Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке : 1)Найти производную функции. 2)Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение. 3)Найти значение функции на краях числового промежутка и в нулях производной, входящих в данный числовой промежуток. 4)Выбрать среди полученных значений функции значение, соответствующее вопросу задачи (наибольшее или наименьшее) Важно: промежуток может быть не указан, но очевиден: область определения.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка: 1)Найти производную функции. 2)Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение. 3)Провести исследование на эстремумы на области определения функции. Если эстремум один, то именно в нем достигается наибольшее (наименьшее) значение функции. 4)Найти соответствующее значение функции, подстановкой.

Алгоритм нахождения точек экстремума. 1)Найти производную функции. 2)Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение. 3)На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых производная не определена. 4)Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на вопрос. т. max Например: -3 Ответ:

Формулы: Дифференцирование показательной функции: Дифференцирование логарифмической функции: Дифференцирование сложной функции:

Найдите наибольшее значение функции Решение: Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения. Ответ: 4 Конечно, страшновато, но уже ясно, что краев у числового промежутка нет, а, следовательно в них не будет достигаться наибольшее или наименьшее значение. т. max Убедимся, что это наибольшее значение: Точка максимума одна, следовательно в ней и будет наибольшее значение.

Найдите наибольшее значение функции Решение: Ответ: 9 Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию на всей области определения. Разделим на первый и второй множители, не равные нулю: Убедимся, что это наибольшее значение: т. max Точка максимума одна, следовательно в ней и будет наибольшее значение.

Не очень просто. Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и логарифмической функции в общем виде. Попробуем иначе. Без использования алгоритма и формул

В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Наибольшие, наименьшие значения, точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x). Конечно, с учетом области определения

Функция возрастает на R, следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении аргумента (аргументом в данном случае является функция, находящаяся в показателе) Найдите наибольшее значение функции Решение: Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе. Следовательно т. max Следовательно Ответ: 9

Можно и совсем обойтись без производной. Используем простые графические соображения

Функция возрастает на R, следовательно наименьшее значение принимает при наименьшем значении аргумента (функции, находящейся в показателе) Найдите наименьшее значение функции Решение: Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в показателе. Следовательно Ответ: 16 График – парабола, ветви направлены вверх.

Функция возрастает на всей области определения, следовательно наибольшее значение принимает при наибольшем значении значении аргумента (функции, находящейся под знаком логарифма) Найдите наибольшее значение функции. 13 Решение: Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся под знаком логарифма. Следовательно Ответ: График – парабола, ветви направлены вниз. 4

Решим таким же способом задания, связанные с исследованием сложной функции, содержащей квадратичную функцию под знаком квадратного корня

Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения Найдите точку минимума функции. 15 Решение: Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. Ответ: График – парабола, ветви направлены вверх. 3 Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R.

Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения Найдите наибольшее значение функции. 16 Решение: Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. Ответ: График – парабола, ветви направлены вниз. 3 D(y):[-5;1]. Следовательно

Реши самостоятельно любым способом: Найдите точку минимума функции. Найдите точку максимума функции. Найдите наименьшее значение функции Найдите наименьшее значение функции

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ