Геометрия глава 3 «Параллельные прямые». Подготовила Иванова Настя ученица 9 класса СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

Оглавление: Параллельные прямые Обозначение параллельных прямых Параллельные отрезки Признаки параллельности двух прямых Теорема о параллельности 2 прямых с использованием накрест лежащих углов. Теорема о параллельности 2 прямых с использованием соответственных углов. Практические способы построения параллельных прямых. Евклид. Сочинение «Начала» Аксиома Аксиома параллельных прямых Следствие Следствие 1 0 Следствие 2 0 Н. И. Лобачевский Пятый постулат Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Теорема о равности накрест лежащих углов. Следствие Теорема о равности накрест соответственных углов. Теорема о сумме односторонних углов. конец

Параллельные прямые- это прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. A A 1 B B 1 A, B A 1,B 1

Параллельность прямых a и b обозначают так: a||b a b

Дано: прямые a и b, пересечённые c Доказать: прямые a и b параллельны. Доказательство: Прямые a и b перпендикулярны с (a и b не пересекаются) => они параллельны. ч.т.д. c b a

Параллельные отрезки Два отрезка называются параллельным, Если они лежат на параллельных прямых. Параллельны: AB и DC, KL и a. Не параллельны: MN и AB. A B D C KL a N M

Признаки параллельности двух прямых Прямая с называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых a и b секущей c образуется 8 углов. Некоторые пары углов имеют специальные названия: Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6. Односторонние: 4 и 5; 3 и 6. Соответственные: 1 и 5; 4 и 8; 2 и 6; 3 и 7. b a c b

Теорема Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. ( 1 и 2 накрест лежащие) a b c 1 2

Доказательство. Дано: прямые a и b; секущая AB; 1= 2 (накрест лежащие) Доказать: a||b. Доказательство: а)Если 1 и 2 прямые, то a и b перпендикулярны прямой AB и параллельны. a b c 1 2

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые: б)Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой а. ВН 1 = АН => OНA = ОН 1 В по двум сторонам и углу между ними => 3= 4 и 5 = 6 О, Н и Н 1 лежат на одной прямой 6 – прямой а НН 1 и b НН 1 Они параллельны. a b H A B H О ч.т.д.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Теорема a b c

Доказательство. Дано: прямые а и b; секущая с; 1= 2(секущие) Доказать: a || b Доказательство: Т.к. 2 и 3 –вертикальные, то 2 = 3 1= 3 Но 1 и 3 – накрест лежащие a || b a b c ч.т.д.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0, то прямые параллельны. Теорема a b c

Доказательство. Дано: Пусть при пересечении прямых a и b секущей с 1 + 4= Доказать: a || b Доказательство: Т.к. 3 и 4 – смежные => => 3 + 4= = 3 (накрест лежащие) a || b ч.т.д. a b c

Практические способы построения параллельных прямых. С помощью чертёжного угольника и линейки С помощью рейсшины С помощью малка b c задачи

Задача 1

Задача 2

Евклид ( гг. до н.э.) Сочинение «Начала»

Аксиома- Положение принимаемое без доказательств и лежащие в основе доказательств истинности других положений

Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная. C a b

Следствие - Утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем.

Следствие 1 0 Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых. То она пересекает и другую.

Доказательство: Дано: а || b; точка М пересекает a. Доказать: с пересекает b. Доказательство: Если бы прямая с не пересекала b, то через M проходили а и с, параллельные b НО это противоречит аксиоме параллельных прямых c пересекает b. ч.т.д. a a bb M M c c

Следствие 2 0 Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a b c

Доказательство: Дано:a|| c; b|| c. Доказать: a||b: Доказательство: пусть a и b не параллельные; пересекаются в М Через М проходят 2 параллельные прямые. НО это противоречит аксиоме a||b ч.т.д. a b c Ma b c

Н. И. Лобачевский ( гг.)

Пятый постулат Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚) то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180˚).

Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. В «сражениях» с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр.

В начале XIX в. русский математик профессор Николай Иванович Лобачевский делал попытки, но первое время он шёл тем же путём что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.

Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул. Применяя выведенную им функцию П(х), он получает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается что в любом треугольнике сумма углов меньше 180˚. Значит в четырёхугольнике Саккери сумма углов меньше 360˚. Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла – когда в четырёхугольнике Саккери четвёртый угол φ

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие – это то, что дано. Заключение – то, что требуется доказать. Обратная теорема – теорема, в которой условием являются заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие угла равны. Теорема a b с 1 2

Доказательство. 1. Допустим, что 1= 2 2. Отложим от MN PMN 3. ( PMN= 2) 4. Через M проходят 2 прямые, параллельные прямой b. НО это противоречит аксиоме || прямых = 2 a b 1 2 M P N Ч.т.д. Дано: a||b; c – секущая Доказать: 1 = 2 Доказательство:

Следствие Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. a b 1 2

Доказательство. Дано: a||b, с a ( 1= 90 о ) Доказать: с b Доказательство: Т.к. с пересекает a => пересекает и b 1= 2 Т.к. 1=90 о и 2=90 о, т.е. с b ч.т.д. a b 1 2

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Теорема b a c

Доказательство. Дано: a||b; c – секущая Доказать: 2= 3 Доказательство: Т.к. a || b, то 1= 3 (н/л) 2= 3 (вертик.) b c = 3; 2 = 3 1= 2 ч.т.д.

Если 2 параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 о Теорема a b c

Доказательство. Дано: a||b; c – секущая Доказать: 1+ 4=180 о Доказательство: Т.к. a||b, то 1= 2 (соответственные) Т.к. 1 и 2 – смежные, то 2+ 4=180 о 1+ 4=180 о a b c ч.т.д

Задача. Дано: KD // CG; AL – секущая; ABC=58 о Найти: DAB - ? Решение: DAB образует 2 накрест лежащих угла при пересечении KD и CD третьей прямой AL. KD // CG (по условию) DAB = ABC = 58 о D A K C B G

Конец