Геометрия глава 4 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Подготовил Фельдман Миша ученик 9 класса СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

Соотношения между сторонами и углами треугольника треугольника.

План. 1)Сумма углов треугольника Сумма углов треугольника 1)Теорема о сумме углов треугольника Теорема о сумме углов треугольника 2)Внешний угол треугольника Внешний угол треугольника 3)Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о внешнем угле треугольника 4)Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники 5)Задачи Задачи 2)Соотношение между сторонами и углами треугольника Соотношение между сторонами и углами треугольника 1)Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника 2)Неравенство треугольника.Неравенство треугольника 3)Задачи.Задачи. 3)Прямоугольные треугольники.Прямоугольные треугольники. 1)Некоторые свойства прямоугольного треугольника Некоторые свойства прямоугольного треугольника 2)Признаки равенства прямоугольного треугольника Признаки равенства прямоугольного треугольника 3)Задачи Задачи

Сумма углов треугольника. §1§1§1§1

Доказательство : А B C Дано : ABC Док - ть : 1 и 4 – накрест лежащие 1 и 4 – накрест лежащие 3 и 5 – накрест лежащие 3 и 5 – накрест лежащие A+ B+ C=180 0 A+ B+ C=180 0 a = 5, 3 = 5, 1 = 4 1 = 4 A+ B+ C = = = 180 0

Дано : ABC Док - ть : 4= = 1+ 2 Доказательство : 4+ 3 = = = = = = 1+ 2

В треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а один прямой или тупой. Тупоугольный Тупоугольный Остроугольный Остроугольный Прямоугольный Прямоугольный Гипотенуза Катет Катет

Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60 0

Дано : ABC – Р / с Док - ть : 1= 2= 3=60 0 1= 2= 3=60 0 Доказательство : B1 2 3 A C 1= 2= 3 1= 2= = = = 2= 3=180 0 :3=60 0 1= 2= 3=180 0 :3=60 0

Внешний угол, проведённый к основанию равнобедренного треугольника, равен Найдите все углы треугольника.

Дано : ABC – Р / б 1, 2, 3 1, 2, 3 4= =115 0 Найти : Решение : 4 и 3 - смежные 4 и 3 - смежные 3= =65 0 3= =65 0 1) 2) 1 = 3 1 = 3 1=65 0 1=65 0 2= ( 1 + 3) 2= ( 1 + 3) 3) 2= *2 2= *2 2=50 0 2=50 0 Ответ : 1=65 0 1=65 0 2=50 0 2=50 0 3=65 0 3=65 0

Соотношения между сторонами и углами треугольника. §2§2§2§2

Доказательство : Дано : ABC Док - ть : AB>AC C> B C> B Пусть AD=AC C > 1 C > 1 B < 2 B < 2 1 = 2 1 = 2 C> B C> B A C B D 2 1

Доказательство : Дано : ABC Док - ть : C> B C> B AB>AC Пусть АВ не > АС AB=AC ABAC A B C

Дано : ABC Док - ть : Доказательство : ABC 1 2 D 1= 2 1= 2 ABD> 1 ABD> 1 ABD> 2 ABD> 2 AB

В равнобедренном треугольнике с основанием АС биссектриссы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольнике АОС –равнобедренный.

Дано : ABC – Р / б Док - ть : Доказательство : АО, СО - биссектриссы BOC – Р / б BAC O А = С А = С ОАС =0,5 A ОАС =0,5 A ОСА =0,5 С ОСА =0,5 С ОСА = OAC ОСА = OAC BOC – Р / б

Прямоугольные треугольники. §3§3§3§3

Дано : ABC – п / у Док - ть : Доказательство : АВС = А 1 В 1 С 1 A 1 B 1 C 1 – п / у АВ = А 1 В 1 В = В 1 A B C A1A1 C1C1 B1B1 = A= A 1 (90 - ) = (90- ) АВС= А 1 В 1 С 1

Дано : ABC – п / у Док - ть : Доказательство : АВС = А 1 В 1 С 1 A 1 B 1 C 1 – п / у АВ = А 1 В 1 ВС = В 1 С 1 A B C 0 A1A1 C1C1 B1B1 Наложим треугольник АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 С = С 1 ВС = В 1 С 1 А 1 В 1 А 2 – равнобедренный НО ! А 1 А 2 АВС = А 1 В 1 С 1 0 A2A2

Дано : ABC Док - ть : Доказательство : АВС = А 1 В 1 С 1 A1B1C1A1B1C1A1B1C1A1B1C1 ВН, В 1 Н 1 высоты ВН=В1Н1ВН=В1Н1ВН=В1Н1ВН=В1Н1 АС В Н C1C1 В1В1 А1А1 Н1Н1 А = А 1 А = А 1 В = В 1 В = В 1 ВН=В1Н1ВН=В1Н1ВН=В1Н1ВН=В1Н1 А = А 1 А = А 1 АВН = А 1 В 1 Н 1 АВ = А 1 В 1 АВС = А 1 В 1 С 1