Решение задач части С (планиметрия). Муниципальное образовательное учреждение основная общеобразовательная школа 7 г.о. Тольятти учитель математики высшей категории Холова Сания Минзакировна

Данная тема актуальна, так как подобные задачи требуют развитого абстрактного мышления. Задачи С4 предполагают выполнение действий с геометрическими фигурами. Наглядное решение позволяет лучше усвоить приемы решения таких задач. Их особенностью является рассмотрение различных конфигураций геометрических фигур. Задачи, представленные ниже, очень часто вызывают у учащихся затруднения при решении. Чтобы решить их, нужно хорошо знать планиметрию. А так как изучение планиметрии заканчивается в 9 классе, то на уроках геометрии в 10 – 11 классах необходимо решать задачи повышенной сложности из планиметрии.

Задача 1 Прямоугольный треугольник разделен на два треугольника. Перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу. В образовавшиеся треугольники вписаны окружности с радиусами Найдите ради ус окружности, вписанной в данный треугольник.

Решение В С Обозначим радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВD и ВСD, r 1 и r 2 соответственно ( r 1 = 5, r 2 = 12 – по условию) А D

АВD ~СDВСDВ Треугольники прямоугольные и А В С DD о 2 о 2 о 1 о 1 В как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Коэффициент подобия где t – некоторое число.

D В АВ А С о 1 о 1 о 2 о 2 АВD АСВ ~ Из треугольника АВС по теореме Пифагора Они прямоугольные, Коэффициент подобия равен Ответ : радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 13.

Задача 2 Дан треугольник АВС со сторонами АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S в некоторой точке и отрезка АС в точке D.

АС В D O

Треугольник АВС – прямоугольный, так как (169 = ) – по условию. Центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности S лежит на середине гипотенузы АВ и, следовательно, радиус этой окружности средняя линия треугольника АВС.

Условию задачи удовлетворяют две окружности: с центром Из рисунка видно, что Ответ :

Задача 3 Найдите длины двух смежных сторон параллелограмма, если известно, что их сумма равна 8, а сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна 68.

Решение Обозначим длины сторон параллелограмма АВ = х, ВС = у, угол АВС = α, угол ВСD = β. Из АВС по теореме косинусов: cosy (1) А В С D

Из ВСD по теореме косинусов: cosβ (2). Так как α + β = 180 (по свойству параллелограмма) cosβ = cos (180 – α) = - cosy ( по формулам приведения). С учетом этого, после сложения равенств (1) и (2) получим: По условию х + у = 8 и