Задачи на построение. Строим циркулем и линейкой! В.А.Орлюк, учитель математики МОУ Петровская СОШ Гурьевского района Калининградской области.

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Задача 1

В А 1. Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ. О С

2. Циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок ОD – искомый. О С D

Задача 2 Отложить от данного луча угол, равный данному.

1. Изобразим фигуры: угол А и луч ОМ М О А

2.Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С. А С В

3.Проведём окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. О DМ

4. Построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый. Е О D М

Рассмотрим треугольники АВС и ОDЕ. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки ОD и ОЕ – радиусами окружности с центром О. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ=ОD, АС=ОЕ. По построению ВС=DЕ. Следовательно, треугольники АВС и ОDE равны, т.е. равны углы САВ и DOE. О Е D М А С В

Задача 3 Построить биссектрису данного угла.

1. Нарисуем угол A и проведём окружность (A; r) она пересекает стороны угла в точках В и С. С А В

2. Проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С. Они пересекутся в двух точках. Ту из этих точек, которая лежит внутри угла ВАС, обозначим буквой Е. С А В Е

С А В Е Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС. Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ – общая сторона; АС = АВ( радиусы одной и той же окружности); СЕ=ВЕ по построению. Значит АСЕ= АВЕ, Отсюда следует, что САЕ= ВАЕ, АЕ – биссектриса угла ВАС

Дана прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. Задача 4

Дана прямая а и дана точка М, принадлежащая этой прямой. а М

1. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. 2. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q. а М АВ Р Q

а М АВ Р Q QР через точку М. 1. Проведем прямую QР через точку М. QР а. Докажем это. Докажем это. Медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то РМ перпендикулярна а Медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то РМ перпендикулярна а

Задача 5 Построить середину данного отрезка.

АВ – данный отрезок. 1. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. 2. Окружности пересекаются в точках Р и Q. 3.Проведём прямую РQ. 4. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ О А В Р Q

О А В Р Q 12 Доказательство: 1. Треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому 1 = 2, значит РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О – середина отрезка АВ