Геометрия глава 2 Треугольники Геометрия глава 2 Треугольники Подготовил Пикуло Владислав ученик 9 класса СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

§1. Треугольники а) Треугольники б) Равные треугольники в) Первый признакак равенства треугольников §2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольников а) Перпендикуляр к прямой б) Медианы, биссектрисы и высоты треугольников в) Свойства равнобедренного треугольника §3. Второй и третий признакак равенства треугольников а) Второй признакак равенства треугольников б) Третий признакак равенства треугольников §4. Окружность а) Окружность

Периметр треугольника – это сумма всех длин его сторон AB+BC+AC = P Формула периметра: А В С Треугольник – это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки треугольника называются вершинами, а отрезки - его сторонами. BAC CBA ACB отрезок - сторона - АВ отрезок - сторона - ВС отрезок - сторона - АС Три угла треугольника: ВАС СВА АСВ Домой

Условие: Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС Решение: 1) АС = 2*АВ = 2*17 = 34 см. 2) ВС = АС – 10= = 24 см. 3) Р = АВ + ВС + АС = = 75 см Ответ: Р АВС = 75 см. Дано: АВС АВ = 17 см. АС в 2 раза больше АВ ВС меньше АС на 10 см. Р АВС - ? Найти: А В С 17 Домой

Остроугольный треугольник – это такой треугольник, у которого все углы острые ( 90 o ). Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого есть прямой угол ( 90 о ). Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны по величине между собой. Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, у которого боковые стороны равны по величине. Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны разные по величине. Домой

Высказывание : Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. А В С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: Доказать: Чтобы доказать это высказывание - наложим один треугольник на другой. Раз АВ=А 1 В 1 Раз ВС=В 1 С 1 Раз АС=А 1 С 1 Домой

Условие: Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. Докажем, что треугольники АВС и EBD равны. Дано: АВ = ВЕ DB = BC Доказать: АВС =ЕВD Доказательство: 1)Рассмотрим АВС и ЕВD AB = EB (по усл.) СВ = DB (по усл.) АВС = DBE ( вертик.), АВС = EBD ( по 2 стор. и углу между ними) СА D E В Домой

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны! С1С1 А1А1 В1В1 A= A 1 AB=A 1 B 1 AC = A 1 C 1 Доказать: Дано: АВС = А 1 В 1 С 1 Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АВ=А 1 В 1, АС=А 1 С 1, углы А и А 1 равны. Так как угол А = углу А 1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что их вершины и стороны наложились друг на друга. С А В ВС = В 1 С 1 Раз АВ=А 1 В 1 Раз угол А = углу А 1 Раз АС=А 1 С 1 АВС = А 1 В 1 С 1 (ч.т.д.) Домой

А ВС M M1M1M1M1 M2M2M2M2 Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы. Медиана АМ Медиана ВМ 1 Медиана СМ 2 Домой

А ВС M M1M1M1M1 M2M2M2M2 Биссектриса – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны и делящий угол на 2 равных друг другу по величине угла Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектриса АМ Биссектриса ВМ 1 Биссектриса СМ 2 Домой

Высота – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, находящейся напротив этой вершины. A B CH1H1 H2H2 H3H3 Любой треугольник имеет три высоты. Высота АН1 Высота ВН 2 Высота СН 3 Домой

А В СМА1А1 В1В1 С1С1 М1М1 Дано: ВМ, В 1 М 1 - медианы Доказать: ВМ = В 1 М 1 Условие: Докажем, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. Доказательство: 1) Рассмотрим и АВ = А 1 В 1 (т.к. ) (т.к.) АМ = А 1 М 1 (т.к. АМ = 1\2 АС, А 1 М 1 = 1\2 А 1 С 1 ) ( по 2 сторонам и углу между ними) ВМ = В 1 М 1 (по опр. равных треугольников) ч.т.д. Домой

Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том только один. АН - ВС А ВС М Н ( ( = < < Доказательство: 1)Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС. А1А1 Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Точка Н – это основание перпендикуляра. Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. А Н а Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу АВС. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны ВА и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. При этом точка А наложится на некоторую точку А 1 луча ВМ. Обозначим точку Н пересечением прямой АА 1 и ВС Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. При нашем наложении луч АН совмещается с лучом А 1 Н, поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Но угол 1 и угол 2 смежные, значит каждый из них прямой. ИТАК, Отрезок АН – это перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а. А ВС Н ( ( 1 2 А1А1 Домой

Дано: Найти: АС ВD а Условие: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажем, что треугольник ABD = треугольнику CDB; б) Найдём угол ABC, если угол ADB = 44 о Домой Доказательство: 1) ABD и CDB BD – общая AB = CD ( усл.) ( т.к. ) ABD = CDB ( по 2 сторонам и углу между ними) 2) Из 1 пункта следует, что, тогда

А ВС M1M1M1M1 M2M2M2M2 M3M3M3M3 А ВС B1B1 C1C1 A1A1 CBH1H1 H2H2 H3H3 A В любом треугольнике : 1. Медианы пересекаются в одной точке. 2. Биссектрисы пересекаются в одной точке. 3. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами: Домой

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Дано: ABC - р\б AD - биссектриса ABC=ACD (по 1 признак. рав-ва треугольников) AB=AC AD – общая сторона < 1= < 2 Доказать: < В= < С Пусть AD – биссектриса треугольника АВС. Доказательство: 12, = < < Треугольники АВD и ACD равны по первому признакаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, AD – общая сторона, т.к. AD – биссектриса) В равных треугольниках против равных сторон, лежат равные углы, поэтому < В= < С !!!Теорема доказана!!! Домой 2 1 А В D С 34

2 1 А В D С 34 Дано: АВС - р\б ВС – основание. AD – биссектриса. Доказать: AD – медиана AD - высота Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство: Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и 4 < < 3= Равенство ВD = DС означает, что точка D – середина стороны ВС и поэтому AD – медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 – смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является так же высотой треугольника АВС. !!!Теорема доказана!!! Справедливы так же утверждения: 1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. Домой

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Дано: < АВС А1В1С1А1В1С1 АВ = А 1 В 1 АА1А1 ВВ1В1 < < < = = Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 Наложим треугольник АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что бы вершина А совместилась с вершиной А 1, сторона АВ с равной её стороной А 1 В 1, а вершина С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1. А С В А1А1 В1В1 С1С1 Так какА1А1 < < =А < ВВ1В1 < =и, то сторона АС наложится на луч А 1 С 1, а сторона ВС – на луч В 1 С 1. Поэтому вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А 1 С 1, так и на луче В 1 С 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С 1. Значит совместятся стороны АС и А 1 С 1, ВС и В 1 С 1 Таким образом, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, поэтому они равны. !!!Теорема доказана!!! Домой

Дано: АВС А1В1С1А1В1С1 АВ = А 1 В 1 ВС = В 1 С 1 СА = С 1 А 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. А С В А1А1 В1В1 С1С1 Доказательство: Приложим треугольник АВС к треугольнику А 1 В 1 С 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1, вершина В – с вершиной В 1, а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1. Рассмотрим случай, когда луч C 1 C проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 А 1 (А) С В 1 (В) С1С Так как по условию теоремы стороны АС и А 1 С 1, ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С – равнобедренный. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника < 12 < =34 < < =,, поэтому < А 1 СВ 1 = < А1С1В1А1С1В1. Итак, АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1, < С = < С1С1 Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по первому признакаку равенства треугольников. !!!Теорема доказана!!! Домой

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. М О r Центр окружности – точка, находящаяся в центре окружности. Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. D Е F A B ОМ – радиус OD – радиус EF – хорда АВ – хорда DM - диаметр О – центр окружности Домой