Основные типы задач на расположение корней квадратичной функции, зависящей от параметра

1. Введение Пусть квадратичная функция имеет вид 0 y x где a – параметр, α(a)0. Абсциссу вершины параболы обозначим ( 1) – корни уравнения (1), – дискриминант уравнения (1). y=f(x)

2. Свойство квадратичной функции 0 y x 1) 2) 3) 4) 5)6) Выражение на промежутках знакопостоянства функции сохраняет знак.

3. Теорема о знаке квадратичной функции 1.Если, то уравнение (1) не имеет корней и знак при всех совпадает со знаком, т.е. (параболы 1 и 4); 0 y x 1) 4)

3. Теорема о знаке квадратичной функции 2. Если, то уравнение (1) имеет один корень ( два равных корня ) и знак при всех кроме совпадает со знаком, т.е. (параболы 2 и 5); 0 y x 2) 5)

3. Теорема о знаке квадратичной функции 0 y x 3) 6) 3. Если, то уравнение (1) имеет два различных корня и знак при всех противоположен знаку, а при всех совпадает со знаком, т.е. (параболы 3 и 6).

4. Основные типы задач на расположение корней квадратичной функции, зависящей от параметра 0 y x d ЗАДАЧА 1. Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1) были меньше числа, необходимо и достаточно выполнение условий

Основные типы задач на расположение корней квадратичной функции, зависящей от параметра 0 y x d e,необходимо и достаточно Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1)находились в интервале Задача 2.

Основные типы задач на расположение корней квадратичной функции, зависящей от параметра 0 y x d ЗАДАЧА 3. Для того, чтобы число находилось между корнями квадратного уравнения (1), необходимо и достаточно выполнение неравенства

Основные типы задач на расположение корней квадратичной функции, зависящей от параметра ЗАДАЧА 4. Для того, чтобы отрезок лежал внутри интервала (x 1 ;x 2 ), необходимо и достаточно, чтобы 0 y x de

Пример 1. Найти все значения параметра a, для которых неравенство выполнено при всех x, удовлетворяющих условию.

Решение Применяя формулы приведения, получим

Так как и при, следовательно, sinx+cosx>0.

Так как то неравенство принимает вид Пусть sin2x=t, тогда при

Таким образом, задача сводится к нахождению значений a, при которых квадратный трехчлен для всех это условие будет выполняться, если Ответ:

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых значения (x-4)(x2-4x-5) не равно значению выражения ни при каком значении переменной Решение: Задание можно сформулировать так: Найти все а, при которых уравнение не имеет решения ни при каком значении переменной

1. так как

если D

Значимость данной работы: А)основные типы задач о расположение корней квадратичной функции, зависящей от параметра позволяют легко и изящно решать целый класс задач с параметрами; Б) наша работа может быть использована для проведение практических занятий с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену.