Автор работы: Сивак Светлана Олеговна Гимназия 56 Санкт-Петербург 2011 г Компьютерная поддержка по теме "Тела врачения на примере конуса"

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским– учеником Евклида, который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

F P x Определение: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. L

боковая (коническая) поверхность высота конуса (РО) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса (r) B r образующие P

Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получается при врачении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов – оси конуса. В А С С1С1 С2С2

Сечение, перпендикулярное к оси конуса представляет собой круг, секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. РО 1 М 1 ~ РОМ r 1 = РО 1 /РО*r ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ СЕЧЕНИЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЕ ОСИ КОНУСА В сечении равнобедренный треугольник, основание которого диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Рис.1Рис.2Рис.3 эллипс парабола гипербола

S D1 D2 d2 F1 F2 M d П P2 P1 k1 k2 Рис.4

Рис.5Рис. 6 Рис. 7

1 2 F1 F2 l Рис. 8

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (конической поверхности). 1) S бок = 2 πl α 360 2) S бок = url P A B

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. S кон = πr (l+r)

доказательство 1 V конуса = S(x)dx. H 0 S(x) S осн = k = 2 ( ) 2 = x x H H 2 2 S(x) = S осн * x H 2 2 S осн 3 1 = * H 3 1 = π 2 R H 3 1 = π 2 R H V конуса H x S(x) S осн x H 2 2 H 0 V конуса = S осн * dx = S осн 2 H * = S осн * 2 H * 3 H 3 = H 3 x 3 0

доказательство 2 За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания. 3 1 = π 2 R H V конуса S осн V конуса = lim V пир = n ( * ) = lim n 3 1 H 3 1 H * lim n S осн = 3 1 H *H * S круга

доказательство 3 V тела врач. = π H 0 2 f (x) dx. 3 1 = π 2 R H V конуса H 0 H 0 V конуса = π (kx) dx = 2 π 2 k 2 2 x dx = π * ( ) H R * H 3 x 3 0 = 2 H * 3 H 3 π R * 2 = = 2 H * 3 H 3 π R * 2 = 3 1 = π 2 R H R A C H O x y H y = kx α

Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус. основания образующая радиусы боковая поверхность высота

Задача 1. ( ) Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к площади боковой поверхности. Решение: Пусть радиус основания конуса равен R, тогда площадь основания S осн = R, а высота конуса 2R. 2 π O A S В SOA: SA = SO + OA = (2R) + R = R Итак, l = SA = R 5 Тогда S бок = R l = R 5 Искомое отношение: ππ S бок S осн = = π π R R 5 5 5

Задача 1. (объем конуса) Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м 3 земли имеет массу 1650 кг? Решение: O AC 2 м B 3 м 3 м * 3 * 2 = 6 (м ) 23 π P = 1650 * 6 * 3, кг 31 т. Ответ: P = 31 т. 3 1 = π 2 R H V = 3 1 π

Задача 2. (Объем конуса) Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро? Дано:Решение. коническая воронка D = 10 см L = 13 см V – ? O AC 13 B = π 2 R H V = 3 1 π * 25 * 12 = 100 (см ) π 3 = = 100 см = 0,1 дм. 3 3 ππ = 12 ( ) H = n = = = 31, ,13,14 π Ответ: n 32 воронки.

Задача 3. (Объем конуса) «... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли.» А.С. Пушкин «Скупой рыцарь» Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой- нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

Войско в воинов считалось очень внушительным. V = 0,2 * = дм 3 = 20 м 3. Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45° Дано: конус V = 20 м 3 a = 45° Найти: H конуса 3 1 = π 2 R H V конуса 1 горсть литров = 0,2 дм ° H = = 2,7 м. 3 3V3V 3 π 3 * 20 3,14 Решение: Так как H = R, то:

Список литературы: 1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. / Геометрия для классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 3-е издание, перераб. – М.: Просвещение, – 464 с. 2. Геометрия 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение,2005. – 206 с. 3. Крамор В. С. / Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – 3-е изд., испр. И доп. – М.:Мнемозина, – 336 с. 4. Смирнова И. М. / Геометрия: Учебное пособие для классов гуманист. Профиля. – М.: Просвещение, – 159 с. 5. Математика. – репринтное издание «Математического энциклопедического словаря» 1988 г.- М.: Большая Российская энциклопедия, с. 6.

Пусть в некоторой плоскости задана какая- нибудь фигура F, не лежащая на одной прямой, а вне этой плоскости – точка P. Фигура, образованная всевозможными отрезками PX, соединяющими точку P с точками фигуры F, называется конусом с вершиной Р и основанием F.

( ) 2 x S(x) S осн = k = H 2 H H = 3 1 π n lim 3 1 S осн