Математика Одним из существенных препятствий для успешного изучения темы «Многогранники» является ограниченность средств их изображения и показа. Так, например, при определенном навыке можно нарисовать на доске пирамиду, параллелепипед, призму и даже правильные многогранники. Хотя, получающиеся при этом рисунки, как правило, далеки от совершенства. Нарисовать же полуправильные и звездчатые многогранники вообще не представляется возможным. Решить эту проблему поможет использование компьютерной программы «Математика 7», которая позволяет не только получать изображения на экране монитора различных пространственных фигур, но и поворачивать их в разные стороны как пространственные тела. Здесь мы остановимся на использовании этой программы, при изучении темы «Правильные, полуправильные и звездчатые многогранники».

Рассмотрим сначала вопрос об изображении правильных многогранников. В качестве примера возьмем додекаэдр. Для получения изображения додекаэдра после того, как вы вошли в программу, нужно набрать Graphics3D[PolyhedronData["Dodecahedron","Faces"]] После этого следует нажать клавиши SHIFT и ENTER. В результате на экране появится цветное изображение додекаэдра, заключенного в каркасный куб. Додекаэдр 1 Полученное изображение можно поворачивать в разные стороны с помощью «мышки».

Додекаэдр 2 Если вы хотите убрать куб, то к команде, которую вы набрали, следует добавить Boxed->False. В результате получится команда Graphics3D[PolyhedronData["Dodecahedron","Faces"],Boxed- >False] Нажатие клавиш SHIFT и ENTER приводит к исполнению этой команды. На экране получим изображение додекаэдра

Додекаэдр 3 Изображение додекаэдра можно сделать разной степени прозрачным. Для этого нужно добавить команду Opacity[k], где k – коэффициент прозрачности от нуля до единицы. Если k=1, то прозрачности нет. Если k=0, то от изображения додекаэдра остаются только ребра. На рисунке приведена команда и изображение в случае k=0,8. Graphics3D[{Opacity[0.8],PolyhedronData["Dodecahedron","Faces "]},Boxed->False]

Додекаэдр 4 Цвет граней додекаэдра можно изменить, добавив команду FaceForm[], где в квадратных скобках указывается цвет. Если выбрать желтый цвет (Yellow), то получим команду Graphics3D[{Opacity[0.8],FaceForm[Yellow],PolyhedronData["Dod ecahedron","Faces"]},Boxed®False] Исполнение которой дает следующее изображение.

Додекаэдр 5 Изображение ребер додекаэдра можно делать разного цвета и разной толщины. Пример дает следующая команда Graphics3D[{EdgeForm[{GrayLevel[0.5],Thickness[0.02]}],Polyhedr onData["Dodecahedron","Faces"]}]

Додекаэдр 6 Следующая команда позволяет получить изображение развертки додекаэдра. PolyhedronData["Dodecahedron","NetImage"]

Додекаэдр 7 Программа «Математика» позволяет вычислять значения различных геометрических величин, связанных с многогранниками. Например, команда PolyhedronData["Dodecahedron","Circumradius"] дает радиус сферы, описанной около додекаэдра с ребром 1, Команда PolyhedronData["Dodecahedron","Inradius"] дает радиус сферы, вписанной в додекаэдр с ребром 1,

Додекаэдр 8 Команда PolyhedronData["Dodecahedron","Volume"] Дает объем додекаэдра с ребром 1, Команда PolyhedronData["Dodecahedron","SurfaceArea"] Дает площадь поверхности додекаэдра с ребром 1,

Правильные многогранники Если вместо Dodecahedron написать соответственно Tetrahedron, Hexahedron, Octahedron, Icosahedron, то получим изображения тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, которые также можно поворачивать.

Полуправильные многогранники Программа «Математика 7» позволяет получать изображения полуправильных многогранников и производить с ними указанные выше операции. Среди них: правильные призмы и антипризмы. На рисунках приведены правильная шестиугольная призма и пятиугольная антипризма, полученные с помощью команд соответственно: PolyhedronData[{"Prism",6}]) PolyhedronData[{"Antiprism",5}])

Тела Архимеда 1. Усеченный тетраэдр (команда PolyhedronData["TruncatedTetrahedron"]) Кроме правильных призм и антипризм к полуправильным многогранникам относятся 13 тел Архимеда. Среди них.

2. Усеченный куб (команда PolyhedronData["TruncatedCube"])

3. Усеченный октаэдр (команда PolyhedronData["TruncatedOctahedron"])

4. Усеченный икосаэдр (команда PolyhedronData["TruncatedIcosahedron"])

5. Усеченный додекаэдр (команда PolyhedronData["TruncatedDodecahedron"])

6. Кубооктаэдр (команда PolyhedronData["Cuboctahedron"])

7. Икосододекаэдр (команда PolyhedronData["Icosidodecahedron"])

8. Усеченный кубооктаэдр (команда PolyhedronData["GreatRhombicuboctahedron"]).

9. Усеченный икосододекаэдр (команда PolyhedronData["GreatRhombicosidodecahedron"])

10. Ромбокубооктаэдр (команда PolyhedronData["SmallRhombicuboctahedron"])

11. Ромбоикосододекаэдр (команда PolyhedronData["SmallRhombicosidodecahedron"])

12. Курносый куб (команда PolyhedronData["SnubCube"])

13. Курносый додекаэдр (команда PolyhedronData["SnubDodecahedron"])

Правильные звездчатые многограннники Программа «Математика 7» позволяет получать изображения правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) и производить с ними указанные выше операции. Имеется четыре правильных звездчатых многогранников: 1. Малый звездчатый додекаэдр (команда PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron"] ).

2. Большой звездчатый додекаэдр (команда PolyhedronData["GreatStellatedDodecahedron"] )

3. Большой додекаэдр (команда PolyhedronData["GreatDodecahedron"] )

4. Большой икосаэдр (команда PolyhedronData["GreatIcosahedron"] )

Список групп многогранников В программе «Математика 7» имеется много других многогранников, объединенных в группы. Названия этих групп можно получить с помощью команды PolyhedronData["Classes"] Ее исполнение дает следующий список групп. {Amphichiral,Antiprism,Archimedean,ArchimedeanDual,Chiral,Co mpound,Concave,Convex,Cuboid,Deltahedron,Dipyramid,Equilater al,Hypercube,Johnson,KeplerPoinsot,Orthotope,Platonic,Prism,Pyr amid,Quasiregular,RectangularParallelepiped,Rhombohedron,Rigi d,SelfDual,Shaky,Simplex,SpaceFilling,Stellation,Uniform,Uniform Dual,Zonohedron}

Группа Compound Для получения названий многогранников, входящих, например, в группу Compound нужно набрать команду PolyhedronData["Compound"] Ее исполнение дает следующий список названий многогранников. {CubeFiveCompound,CubeFourCompound,CubeOctahedronComp ound,CubeOctahedronFiveCompound,CubeOctahedronThreeCom pound,CubeSixCompound,CubeTenCompound,CubeThreeCompou nd,CubeTwoCompound,DodecahedronFiveCompound,Dodecahedr onIcosahedronCompound,DodecahedronSixCompound,Dodecahe dronTwoCompound,HexagonalPrismSixCompound,IcosahedronFiv eCompound,IcosahedronSixCompound,IcosahedronTwoCompoun d,OctahedronFiveCompound,OctahedronFourCompound,Octahedr onTenCompound,OctahedronThreeCompound,StellaOctangula,Tet rahedronFiveCompound,{TetrahedronFourCompound,1},{Tetrahedr onFourCompound,2},{TetrahedronFourCompound,3},TetrahedronS ixCompound,TetrahedronTenCompound,TetrahedronThreeCompou nd,TetrahedronTwoCompound}

Соединение пяти тетраэдров Если, например, набрать команду PolyhedronData["TetrahedronFiveCompound"] то ее исполнение даст изображение соединения из пяти тетраэдров.

Группа Stellation Для получения названий многогранников, входящих, например, в группу Stellation нужно набрать команду PolyhedronData["Stellation"] Ее исполнение дает следующий список названий многогранников. {CubeFiveCompound,DodecahedronIcosahedronCompound,Echid nahedron,EschersSolid,GreatDodecahedron,GreatIcosahedron,Gre atRhombicTriacontahedron,GreatStellatedDodecahedron,Octahedr onFiveCompound,{RhombicDodecahedronStellation,2},RhombicHe xecontahedron,SmallStellatedDodecahedron,SmallTriambicIcosah edron,StellaOctangula,TetrahedronFiveCompound,TetrahedronTen Compound}

Echidnahedron Если, например, набрать команду PolyhedronData["Echidnahedron"] то ее исполнение даст многогранник, изображенный на рисунке.