МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ д.ф.м.н., проф., Маликов А.И., Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, КГТУ им.А.Н.Туполева Г.Казань Секция 1 научного совета по теории управляемых процессов и автоматизации Переславль-Залесский, октября 2008 г.

План доклада 1. Оценивание состояния линейной системы 2. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием квази монотонности 3. Матричные системы сравнения 4. Построение матричных систем сравнения 5. Связь с квадратичной функцией Ляпунова 6. Линейная система с ограниченными возмущениями 7. Ограниченность и сходимость эллипсоидальных оценок 8. Оценивание состояния регулируемых систем с нелинейностями из сектора 5. Оценивание состояния систем со структурными изменениями 6. Оценивание состояния дискретных систем 7. Оценивание состояния систем с учетом результатов измерений 8. Приложения к электромеханическим системам (функциональное диагностирование) 9. Синтез управления 10. Заключение 11. Направления дальнейших исследований 12. Публикации 13. Юбилеи

Оценивание состояния линейной системы dx/dt=A(t)x+b(t), (1.1) A(t) - -непрерывная матрица, b(t)-n-вектор, все элементы которых суммируемы на каждом отрезке из T. При t=t 0 x(t 0 )=, Q 0 >0 - -матрица, a 0 - n-вектор. Квадратичная форма v(t,x)=[x–a(t)] T Q -1 (t)[x–a(t)], dv(t)/dt=d{(x–a(t)) T Q –1 (t)(x–a(t)}/dt= =[A(t)x(t)–da(t)/dt] T Q –1 (t)[x(t)–a(t)]+ +[x(t)–a(t)] T Q –1 (t)[A(t)x(t)+da(t)/dt]+ +x T (t)dQ –1 (t)/dtx(t)+b T (t)Q –1 (t)x(t)+ +x T (t)Q(t)b(t). С учетом уравнения для a(t) da/dt=A(t)a+b(t), a(t 0 )=a 0.(1.2) dv(t)/dt=[x(t)–a(t)] T [A T (t)Q –1 (t)+Q –1 (t)A(t)+dQ –1 (t)/dt][x(t)–a(t)]. dQ –1 (t)/dt=–A T (t)Q –1 (t)–Q –1 (t)A(t). dQ –1 /dt=–Q –1 (dQ/dt)Q –1 (Гантмахер Ф.Р. [1988]) dQ(t)/dt=Q(t)A T (t)+A(t)Q(t), Q(t 0 )=Q 0,(1.3) совпадает с эволюционным уравнением метода эллипсоидов (Черноусько Ф.Л. [1988]), и (Сабаев Е.Ф. [1980]), является матричной системой сравнения для (1.1), если взять V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)] T.(1.4) Справедливы оценки x(t)Z(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)] T

V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T.(1.4) Получить уравнение (1.3) можно и путем вычисления производной от матричной функции (1.4). dV(t)/dt=V(t)A T (t)+A(t)V(t), Правая часть (1.3) удовлетворяет условию квази монотонности относительно конуса G +. Поэтому уравнение (1.3) будет являться матричной системой сравнения для (1.1). По лемме 1 для решений системы (1.1), начинающихся из заданного эллипсоида E 0, будем иметь оценки x(t)P(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T

Матричные системы дифференциальных уравнений с условием квази монотонности G – множество симметрических -матриц Q;,. множество линейных функционалов; - телесный, воспроизводящий и нормальный конус. G + правильный конус. Матричная система дифференциальных уравнений (1.3) на, F(t,Y) непрерывна, или непрерывна справа или удовлетворяет усл. Каратеодори. F квази монотонно неубывающая относительно конуса G + если для любых Z,YB, Y–ZG +, и всех из следует для п.в.. Обознач. Лемма 1.1. Пусть матричные функции F1, F2, определены при и принадлежат W(G + ). Тогда 1) При любых, если a, b - монотонно неубывающие по Y относительно G + функции при t>t 0 ; 2) Для - матричной функции A(t) A(t)Y+YA T (t)W(G + ) 3) Для симметрической матрицы Q YQY W(G + ). Теорема 1.1 (о матричных дифференциальных неравенствах). Пусть для непрерывно дифференцируемой матричной функции Z(t) выполняется дифференциальное неравенство (1.4) где функция F(t,Z) непрерывная, квази монотонно неубывающая относительно G+, и удовлетворяет условию Липшица. Пусть Z(t 0 )

Матричные системы сравнения, (1.5) - удовлетворяет условиям существования K- решений (классических, правосторонних). Лемма 1.2. Пусть для (1.5) на T существует абсолютно непрерывная матричная функция V(t,x) такая, что, а для производной от V(t,x) по времени в силу (3.5) справедливо неравенство: при почти всех,(1.6) где F W(G + ) и удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда из условия V(t 0,x 0 )

Построение матричных систем сравнения Исходная система dx/dt=f(t,x,w), x(t 0 )=x 0 E(a 0,Q 0 ) 1. Берется матричная функция V(x)=xx T V ij =x i x j или V(x)=(x–a(t))(x–a(t)) T. 2. Вычисляется производная dV/dt в силу исходной системы. 3. Задается уравнение для a(t): da/dt=f *(t,a) 4. Подставляется выражение da(t)/dt в dV/dt 5. Производится мажорирование dV/dt с использованием матричных неравенств. В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству вида dV/dt F(t,V) относительно конуса G + 6. По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная система dQ/dt=F(t,Q). Если она удовлетворяет условию монотонности решений по начальным данным, то она будет являться матричной системой сравнения для исходной системы. Достаточным условием монотонности решений по начальным данным является условие квази монотонности функции F(t,Q) правой части полученной матричной системы. Оценки решений [x(t,t 0,x 0 )–a(t,t 0,a 0 )][x(t,t 0,x 0 )–a(t,t 0,a 0 )] T Q(t,t 0,Q 0 ), или x(t,t 0,x 0 ) E[a(t,t 0,a 0 ),Q(t,t 0,Q 0 )] если Q(t,t 0,Q 0 )>0.

Связь с квадратичной функцией Ляпунова Пусть для система (1.1) с матричной функцией сравнения Получена матричная система сравнения (1.3), где F(k,Q) есть непрерывная матричная функция квази монотонно неубывающая относительно G +. Допустиместь решение уравнения (1.1) с. Пусть решение системы сравнения (1.5) с >0 из (1.2). Определим квадратичную форму Лемма 2. Множество (+) – инвариантно для решений системы (1.5). Таким образом, эллипсоид является внешней аппроксимацией множества достижимости системы (1.5).

Линейная система с ограниченными возмущениями dx/dt=A(t)x+B(t)w(t), (2.1) da/dt=A(t)a, a(t 0 )=a 0. Проблемы оптимальности, ограниченности и сходимости эллипсоидальных аппроксимаций. Различные критерии выбора параметра q: минимума объема, следа матрицы эллипсоида, следа взвешенной матрицы эллипсоида, проекции эллипсоида на заданное направление. (2.2) (2.3)

Сходимость и ограниченность эллипсоидальных оценок Теорема 1. Предположим, что пара (A,B) управляемая, а матрица A гурвицева, т.е., ( - собственные числа матрицы A). Тогда при любом фиксированном эллипсоидальная оценка E[a(t),Q(t)]={x:[x–a(t)] T Q –1 (t)[x–a(t)] 0 ограничена и сходится к предельному эллипсоиду, где - решение алгебраического матричного уравнения Ляпунова (уравнения равновесия для (2.3)) В статье Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. АиТ 2006 показано, что матрица минимального по критерию следа инвариантного эллипсоида является решением алгебраического матричного уравнения Ляпунова (2.4) (2.4) (не для локально-оптимальных)

Следствие 1. Для решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова (2.12) справедливы следующие свойства. 1). Монотонность решений по начальным данным: для всех t>t 0 если Q 01 >Q 02. 2). Инвариантность множеств: множества Любая положительно определенная матрица QM 3 определяет инвариантный эллипсоид. В частности, являющаяся положительно определенным решением алгебраического уравнения Ляпунова (2.4) M 3, определяет инвариантный эллипсоид предельного множества достижимости для системы (2.1).

Ограниченность и сходимость локально- оптимальных эллипсоидальных оценок Теорема 2. Пусть матрица А – гурвицева и алгебраическое матричное уравнение (2.4) с локально-оптимальным параметром q=q(Q) имеет положительно-определенное решение Q*>0, такое, что Тогда локально-оптимальные эллипсоидальные оценки, получаемые по уравнению (2.4) будут ограниченными и глобально сходиться к предельному эллипсоиду, определяемому с помощью матрицы Q*>0. Применение матричной системы сравнения позволяет также исследовать свойства робастной устойчивости (ограниченности, диссипативности ). Сопоставление с эволюционными уравнениями метода эллипсоидов

Регулируемая система с нелинейностью из сектора, A(t) - -матрица, b(t), c(t) - n-векторы. непрерывная функция из сектора, k-const. Строится система сравнения с матричной функцией V=xxT, например где q - положительная переменная, выбор которой производится из условия наилучшего мажорирования. Регулируемая система с несколькими нелинейностями из сектора, (6.1) где, как и выше, A(t) – известная -матрица, bi(t), ci(t) – известные n-векторы, i / i неопределенная непрерывная функция, со значениями из отрезка [0,k i ], где k i -const>0 i=1,…m., (6.2) где q i положительные переменные, подлежащие определению.

Выбор параметра q Задача при некотором. Здесь E i =b i b i T, D i =k i 2c i T Qc i Q. q i =[(z i T E i z i )/(z i T D i z i )]1/2, где вектор z i удовлетворяет условию (z i T D i z i )(z i T E i z i )>0. Для системы (6.2),, i=1,…m, система сравнения (6.2) после подстановки q i Если задать z i =c i, то при условии получим систему сравнения в виде

В качестве примера рассмотрим систему второго порядка с кубической нелинейностью dx/dt=A(t)x+b 3, =c T (t)x, Для нее матричная система сравнения (5.4) принимает вид. На основе интегрирования матричной системы сравнения получены матрицы, определяющие размеры эллипсоидов, при следующих значениях параметров: Система с кубической нелинейностью

Эволюция эллипсоидов показана соответственно на рис Следует отметить, что в первых двух случаях матрица A линейной части имеет одно отрицательное и одно нулевое собственное значение. Тем не менее, как видно из рис.1 и 2 (эллипсоиды сжимаются к началу координат), система с кубической нелинейностью асимптотически устойчива в большом. В третьем случае матрица линейной части имеет одно положительное собственное значение, поэтому система с кубической нелинейностью является неустойчивой. Это можно наблюдать на рис.3, где эллипсоиды расширяются с течением времени. Рис.1 Рис.2 Рис.3

Для системы с квадратичной нелинейностью dx/dt=A(t)x+b(t) 2, =c T (t)x, где A(t) – nn-матрица; b(t), c(t) – n-векторы, матричная система сравнения принимает вид, где q>0 – параметр, подлежащий определению. В частности, для наиболее точного мажорирования рекомендуется выбирать параметр q по формуле, при c T b 0, или. На рис. 4,5 отображены эллипсоиды, построенные интегрированием системы сравнения при. В качестве начального условия приняты соответственно матрицы и. В первом случае (рис. 4) эллипсоиды с течением времени сжимаются к началу координат, а во втором случае (рис.5) расширяются, Рис.4 Рис.5 Следовательно, эллипсоид {x:x T diad[2, 2]x

Регулируемая система с неопределенностями,(3.11) где A(t) - -матрица, B(t), C(t) - и -матрицы, w(t) - n-вектор входных воздействий; - n-вектор внешних возмущений, погрешности измерений:,(3.12) где R 1 (t)>0 - nn, а R2(t)>0 - mm матрицы; непрерывная вектор-функцией, с компонентами из сектора,(3.13) где ki -const, - i-я строка матрицы C, i=1,...,m. Оценить множество процессов (3.11) - (3.13) с. Теорема 3.4. Для процессов системы (3.11) с неопределенностями из (3.12), нелинейностями из (3.13) и справедливы оценки при t>t0: V(t)=[x(t)–a(t)][x(t)–a(t)] T

Пример. Оценка точности системы стабилизации с, и нелинейной функцией,, где, и k=1. Сопоставление с вектор-функцией Ляпунова с компонентами в виде модулей линейных форм

Оценивание состояния дискретных регулируемых систем V(k)=xx T и вычислив V(k+1) в силу системы (2.3) Способ 1. состоит в учете неравенства (1.4), для нелинейности и матричного неравенства, справедливого для всех x,y и q>0.

Пример, k=0.9 Рис.1. Оценка, полученная по способу 3 точнее оценок, полученных по способам 1 и 2 Рис.2. оценка при k=10 по способу 1 точнее оценок, полученных по способам 2 и 3

Подбор фиксированного параметра q c=[1.0;0.0]; Q=[1 0 ;0 0.9]; A=[0 1; ];b=[0;1]; kn=0.46; qp=0.9; for k=1:50 Q1=kn*kn*(1+1/qp)*A*Q*A'+(1+qp)*c'*Q*c*bb

Оптимизация следа матрицы kn=0.45; (при kn=0.46 расходятся)

Регулируемая система со структурными изменениями

Оценивание точности САУ при отказах датчиков

Гарантированное оценивание состояния дискретных регулируемых систем с учетом измерений Рассматривается дискретная регулируемая система y(k)=C(k)x(k)+ (k). погрешности измерений (k) 0 { R n : T Q 0, Q 0 >0}, (k) { R n : T R 1 (k), R 1 (k)>0}, (k) { Rm: T R 2 (k), R 2 (k)>0}. Вектор функция Условие принадлежности сектору Обозначим Оценка состояния х(k+1) ^x(k+1/k)=(A+BMD)^x(k/k)+w(k)). (2.4) Ошибка оценки (k+1/k)=х(k+1)– ^x(k+1/k)=Ax(k)+B (k, )+w(k)+ (k)– –[A+BMD]^x(k/k)–w(k)=(A+BMD) (k)+ (k)+B[ (k, )–M ].

V(k/k)= (k/k) T (k/k) (2.5) V(k+1/k)k 0 V(k+1/k)

решение матричной системы сравнения (2.12) при Q(0/0)=Q 0, ^x(k+1/k+1)=F(k+1)(k+1/k)+К(k+1)у(k). (2.13) Уравнение для ошибки оценивания: (k+1/k+1)=х(k+1)-^x(k+1/k+1)=х(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–К(k+1)[Cx(k+1)+ + (k+1)]=[E–K(k+1)C]x(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–K(k+1) (k+1). (2.14) условие (несмещенность оценки) будет выполняться, если выбрать F(k)=E-K(k)C. (2.15) Для нахождения матрицы К(k) запишем: (k+1/k+1)=[E-K(k+1)C] (k+1/k)–K(k+1) (k+1). (2.16) V(k+1/k+1)

В результате рекуррентные уравнения наблюдателя запишутся в виде ^x(k+1/k)=[A(k)+B(k)MD(k)]^x(k/k)+w(k), ^x(k+1/k+1)=^x(k+1/k)+K(k+1)[y(k+1)–C(k+1/k)], К(k+1)=(1+1/q 3 )Q(k+1/k)C T )[CQ(k+1/k)C T (1+1/q 3 )+(1+q 3 )R 2 ] -1, Q(k+1/k)=(1+1/q 2 )[(1+1/q 1 )[A+BMD]Q(k/k)[A+BMD] T + +(1+q 1 )R 1 ]+(1+q 2 )BR 3 (k)B T, Q(k+1/k+1)=(1+1/q 3 )[E–K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k)C] Т + +(1+q 3 )К(k+1)R 2 K T (k+1), при k=0,1,.... c начальными условиями ^x(0/0)=a, Q(0/0)=Q 0. Для запуска алгоритма на первом шаге параметр q 3 вычисляется по формуле. Далее вычисляется матрица K(k=1) по (2.19). Затем снова вычисляется параметр q 3 по критерию следа, а по нему – матрица K(k=1). Данный алгоритм был реализован в пакете matlab и опробован на конкретных примерах 2-3 порядка.

Электромеханические системы Модель в виде уравнений Лагранжа второго рода M(q) – матрица инерции кориолисовы и центробежные, трение и гравитационный члены, сухое трение и возмущения ЭМ Могут быть добавлены уравнения электромагнитных процессов в электродвигателях. Предполагается, что известны номинальные Вводя величиныпредставим

Вектор состояния Уравнения движения в пространстве состояний Предполагается, что измерения выдаются в дискретные моменты времени с периодом T, а входные моменты, являются постоянными на каждом интервале [kT, (k+l)T] u=

Дискретизация модели Разложение в ряд в окрестности номинального движения Схема метода Эйлера первого порядка

Оценка точности САУ оптического прибора где J - момент инерции прибора; D - коэффициент демпфирования; MН - момент нагрузки и трения, MВ(t) возмущения; MЭП(t) – электромагнитный момент привода:, где M Ф - максимальный фиксирующий момент ШД :, при, - известные постоянные., i ВП – коэффициент редукции, r - параметр, u(t) - выход регулятора:. k1,k2,kР - коэффициенты регулятора; a-const, - погрешности, r2 i -const, i=1,2, |MВ(t)+MН(t)|

вектор входных воздействий, - вектор неопределенных возмущений. Для отрезка [k T,(k+1) T ] погрешность интегрирования оценивается как. Для вектора неопределенных возмущений (k) имеет место оценка, при k>k0, Для оценивания состояния системы (3.4) был реализован в пакете Matlab алгоритм (2.20), полученный по дискретной модели (3.5). Расчеты проводились при следующих значениях параметров: J=30, M Ф =25, D=250, i ВП =256, k=0.5, =0.8, r=, r 1 =0.002, r 21 = , r 22 =0.0032, g=0.002, k 1 =50, k 2 =2, T=0.01.

Рис. 2. Оценивание состояния системы управления оптического прибора по углу и угловой скорости (в отклонениях от программной траектории) Рис. 3. Априорная -1, и апостериорная 2 оценки состояния в плоскости угол (ось X) – угловая скорость (ось Y) (в отклонениях от программной траектории). Результаты моделирования

Рис.5. Оценки при возникновении дополнительного момента на оси прибора Рис.6. Оценки при возникновении отказа датчика угла Результаты моделирования

Оценивание состояния асинхронного двигателя (1)

(2) (3)

(5)

(6) (7)

(8)

(9)

Установившийся режим работы двигателя: Запуск двигателя:

Торможение двигателя:

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ (10) (11)

Функциональное диагностирование асинхронного двигателя при изменениях нагрузки на роторе Наблюдатель режима 3 Наблюдатель режима 2 Наблюдатель режима 1 Результаты измерений Нормальный режима работы (режим 1)

Расхождение множества измерений и наблюдателя режима 1 Результаты измерений 3 2 1

Совмещение множества измерений и наблюдателя режима 2 Результаты измерений 3 2 1

Расхождение множества измерений и наблюдателя режима 2 Результаты измерений 3 2 1

Совмещение множества измерений и наблюдателя режима

Распознавание неисправностей - это определение развития во времени ошибки из-за неисправности. Это трудная задача, так как только объединенное {комбинированное} влияние неопределенностей и неисправностей может быть оценены а не их вклад по отдельности. Другими словами, неопределенности и отказы влияют на динамику оценки одинаковым образом, делая невозможным четкое различие между влиянием неопределенностей и неисправностями. Проблема распознавания неисправностей

Синтез робастного управления A, B зависят от неопределенного параметра p (*)

Min Критерий качества при ограничениях (*). (6.11) Уравнения для оптимальных K и q Функция Гамильтона

Синтез управления по эталонной модели Непрерывная система x(t) – состояние при t, u(t) – вход (2), Ограничения Задана модельная система С известным управлением Найти управление Чтобы обеспечить характеристики близкие к модельной системе (1)

,,, ; ; Способ синтеза (В.И.Гаркушенко),

Пример, Управление движением центра масс мобильного объекта,,,,,

Результаты моделирования,

Заключение 1. Матричные системы сравнения применяются для оценивания состояния систем управления (в том числе электромеханических) с неопределенностями, фазовыми ограничениями, структурными изменениями. 2. Разработаны способы и алгоритмы оценивания состояния систем с неопределенностями с учетом результатов измерений и фазовых ограничений. 3. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ и использованы для оценивания состояния системы управления оптического прибора. 4. Способы и алгоритмы применены для оценивания в реальном времени состояния асинхронного двигателя при изменениях режимов его работы. 5. Возможны применения для функциональное диагностирование электромеханических систем управления

Направления дальнейшего развития 1. Оценивание состояния нелинейных систем 2. Робастная устойчивость и качество процессов управления, ограниченность и сходимость эллипсоидальных оценок 3. Синтеза оптимальных робастных регуляторов, обеспечивающих качество процессов систем с неопределенностями 4. Применение для оценивания состояния гибридных систем управления 5. Применение для функционального диагностирования электромеханических систем.

1. Маликов А.И., Благов А.Е. Анализ динамики многосвязных систем автоматического регулирования с помощью матричных систем сравнения //Вестник КГТУ, С Маликов А.И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными изменениями//Известия РАН. Теория и системы управления. 1996, 2. С Маликов А.И. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем со случайными изменениями структуры //Известия РАН. Теория и системы управления. 1996, 3. С Маликов А.И., Матросов В.М. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями//Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, 2.– С Маликов А.И. Матричные системы сравнения в исследовании динамики нелинейных систем управления со структурными изменениями //Известия РАН. Теория и системы управления. 1999, 3. С Маликов А.И. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием квази монотонности//Известия ВУЗов. Математика , 8. С Маликов А.И. Эллипсоидальное оценивание решений дифференциальных уравнений с помощью матричных систем сравнения//Известия ВУЗов. Математика, С Маликов А.И. Матричные системы сравнения в анализе динамики и оценивании состояния систем управления с неопределенностями и структурными изменениями //Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление, оптимизация. М.:Физматлит, С Публикации

9. Malikov A. Guaranteed state estimation discrete systems with uncertainties and structural changes //IFAC Workshop Modelling and Analysis of Logic Dynamic Systems. July 30 – August 1, Irkutsk, 2003, p Маликов А.И. Эллипсоидальное оценивание состояния дискретных систем управления с помощью матричных систем сравнения//Известия ВУЗов. Математика, – С Маликов А.И. Оценивание состояния дискретных регулируемых систем с неопределенностями//Актуаль. пробл. механики сплош. среды. Казань, КГУ Яфасов Ф.И. Гарантированная оценка переходных процессов асинхронного двигателя методом матричных систем сравнения.// Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева, 2004, 4. С Маликов А.И., Яфасов Ф.И. Оценивание состояния и функциональное диагностирование нелинейных регулируемых систем с неопределенностями //Труды IV международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» Москва, января 2005 г. SICPRO2005. М.: ИПУ РАН, С Маликов А.И., Яфасов Ф.И. Оценивание состояния и функциональное диагностирование электромеханической системы с асинхронным двигателем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2005.

Ученый в области механики, ученик Н.Г.Четаева. Д.ф.м.н. (1937) профессор (1938), выпускник КГУ (1930).. В КАИ с 1932 по 1949, зав.каф. аэрогидродинамики ( ), зам директора по научной и учебной работе ( , ), директор ( ). С 1949 г в МАИ зав.каф. аэродинамики, зам. директора, директор ( ). Исследовал устойчивость движения цепочек Кармана, получил решение задачи о подъемной силе крыла в области закритических углов атаки. Развил теорию устойчивости движения по Ляпунова в критических случаях и на конечном интервале времени. Проблемы существования и устойчивости нелинейных колебаний. Подготовил 7 докторов и 30 кандидатов наук. 100 лет со дня рождения Георгий Владимирович Каменков ( )

100 лет со дня рождения Абдул-Монгим Шакурович Аминов ( ) 100 лет со дня рождения Павел Алексеевич Кузьмин ( )

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН,