План: Определение. Свойства. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Определение логарифма: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. Основное логарифмическое тождество: a log a b = b, где b>0, a>0 Действие нахождения логарифма называется логарифмированием.

Свойства логарифмов: Log a (bc)=log a b+ log a c Log a (b/с)= log a b-log a c Log a b r =rlog a b Log a b=log c b / log c a Log a b=1 / log b a a log b c = c log b a Log a r b=1/r log a b a log a b = b

Десятичные и натуральные логарифмы: Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb

Логарифмическая функция. Логарифмическая функция: y=log a x Свойства: 1. Множество значений логарифмической функции - множество всех положительных чисел 2. Множество значений логарифмической функции-множество R всех действительных чисел. 3. Логарифмическая функция y=log a x является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 01, отрицательные при Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x, где a>0, a1, взаимно обратные.

Логарифмическая функция и её график: y=log a x, 0

Логарифмические уравнения Решить уравнение: Log 2 (x+1)+ Log 2 (x+3)=3 Решение: Используя свойство логарифма, получаем: Log 2 (x+1)(x+3)=3 Из этого равенства по определению логарифма получаем: (x+1)(x+3)=8. Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x 2 +4x-5=0, откуда x 1 =1, x 2 =-5 При X 2 =-5 числа (x+1 и x+3)

Решение систем: Решить систему уравнений: log 2 x - log 2 y = 1, 4y 2 +x - 12= 0. Решение: Из первого уравнения выразим x через y: log 2 x/y=log 2 2, x/y=2, x=2y. Подставив x=2y во второе уравнение системы, получим 4y 2 +2y – 12=0, откуда y 1 = 3 / 2, y 2 =-2. Найдем значения x: x 1 =3, x 2 =-4. Проверка показывает, что -4 и -2 – постороннее решение. Ответ. X=3, y= 3 / 2.

Логарифмические неравенства: Решить неравенство: log 2 (x-3) + log 2 (x-2) 1 Решение: О.о. X>3. Используя свойства логарифма, получаем: log 2 (x-3) (x-2) log 2 2. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x>3 неравенство log 2 (x-3) (x-2) log 2 2 выполняется при (x-3)(x-2)2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений: (x-3)(x-2) 2 X>3 /////////////// /////// Лавенюкова