Учитель : Савичева Наталья Геннадьевна ЦО 109 Москва, 2013 Первообразная и интеграл

Первообразная Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка F(x) = f(x). Пример : Первообразной для функции f(x)=x на всей числовой оси является F(x)=x 2 /2, поскольку (x 2 /2)=x.

Основное свойство первообразных Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x). Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой - либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y. Геометрическая интерпретация y x

Неопределенный интеграл Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :, где C – произвольная постоянная.

Правила интегрирования

Определенный интеграл В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a

Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков. по определению, его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так :

Связь между определенным интегралом и первообразной ( Формула Ньютона - Лейбница ) Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).

Основные свойства определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [a;b], то

Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:

с помощью определенного интеграла Вычисление площадей и объемов

Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций :

Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]: