Введение в алгебру логики учитель информатики Бурлакова М.Т. ГБОУ средняя школа 365 Фрунзенского района Санкт-Петербурга

В буквальном переводе "логика" - это наука о мышлении. Формальная логика – наука о законах и формах правильного мышления (является одной из древнейших наук). Математическая логика – изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода. Первоначально логика разрабатывалась в связи с потребностями ораторского искусства, то есть как часть риторики. Выдающиеся ораторы пользовались большим уважением. Иногда при определении победителя дискуссии мнения присутствующих разделялись. Одни считали победителем одного из споривших, другие - другого. Это показало всю необходимость разработки правил логики, которые бы позволили избегать подобных разногласий и приходить к единому мнению. Логика – наука о формах, методах и законах правильного мышления. LOGOS (греч.) - слово, понятие, рассуждение, разум, мысль.

Задачи урока: 1- познакомиться с этапами развития логики 2- определить основные понятия логики 3-познакомиься с алгеброй высказываний и основными операциями алгебры высказываний 4- выполнить устную работу на определение простых и сложных высказываний 5- проанализировать и оценить свою работу Тема урока: «Введение в алгебру логики».

Аристотель создавал логику как науку о доказатель- стве истины, стремился придать логическим рассуж- дениям математическую строгость и стройность. Он стал применять символы-буквы для обозначения различных объектов в логических рассуждениях, стремясь свести размышление (умозаключение) к вычислениям. Исследовал различные формы рассуждений, ввел понятие силлогизма. Силлогизм - рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье. Например: 1. Все млекопитающие имеют скелет. Все киты - млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет. 2. Все квадраты - ромбы. Все ромбы - параллелограммы. Следовательно, все квадраты - параллелограммы. АРИСТОТЕЛЬ ( гг. до н.э., древнегреческий философ) - основоположник логики Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической.

Рекомендовал в логике использовать математические методы. Декарт Рене ( , французский философ, математик)

Лейбниц Г.В. заложил идейный фундамент математической логики, предложил исполь- зовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счис- ления. Ему принадлежит идея логического исчисления, то есть четко сформулирован- ные правила действий со словами и предло- жениями, сродни арифметическим правилам действий с числами. В соответствии с этими правилами простые элементы логических рассуждений (понятия) обозначаются буквами, сложные элементы (предложения) – формулами, а умозаключения – уравнениями. Лейбниц Г.В. ( , немецкий философ и математик)

В 1847 г. Джордж Буль в работе «Математический анализ логики» изложил основы булевой алгебры. Разработал алфавит, орфографию и грамматику. Вычисление истинности или ложности рассуждений, записанных с помощью специальных знаков, – основная задача созданной Булем алгебры логики или, как её чаще называют булевой алгебры. Развитие идей Буля привело к созданию современной математической логики, которая включает в себя алгебру множеств, алгебру высказываний, алгебру релейных схем (реле – это переключатель в электрических схемах), без которых было бы невозможным проектирование и программирование вычислительных машин. Именно булева алгебра лежит в основе работы компьютера. Джордж Буль ( , ирландский математик и логик) - основоположник математической логики

Чарлз Сандерс Пирс ( , американский философ, логик, математик и естествоиспытатель, «Исследования по логике» (1883)) Вклад в становление и развитие математической логики внесли также: Аугустус де Морган ( ) Уильям Стенли Джевонс (1835 – 1882, английский экономист, статистик и философ- логик) Платон Сергеевич Порецкий ( – русский математик) и другие…

1938 г. – американский математик и инженер Клод Шеннон связал Булеву алгебру (аппарат математической логики), двоичную систему кодирования и релейно-контактные переключательные схемы, заложив основы будущих ЭВМ. Клод Элвуд Шеннон (30 апреля 1926 – 24 февраля 2001, США) – американский инженер и математик

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математики, изучающий логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов. Логика – теоретическая основа современного компьютера, позволяет понять принципы функционирования двоичной арифметики. Основными формами абстрактного мышления являются: понятия, суждения, умозаключения. Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов (трапеция, дом). Суждение – мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах (весна наступила, и грачи прилетели). Умозаключение – прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание (все металлы - простые вещества). Основные понятия логики

Элементы алгебры логики Логическая переменная – высказывание (суждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением, обозначается латинскими буквами. Примеры суждений: А = «Земля - планета солнечной системы» – истинное высказывание В = «Шишки растут на яблонях» – ложное высказывание

Элементы алгебры логики Высказываниями не являются: восклицательные и вопросительные предложения определения предложения типа: «он кареглаз», «x 2 -2x+5=0» Примеры, не являющиеся суждениями: С = «Слава Родине!» D = «Какой сейчас урок?» Е = «Возьми ключ»

Элементы алгебры логики Виды высказываний (суждений): общее – начинается со слов: все, всякий, каждый, ни один частное – начинается со слов: некоторые, большинство и т. п. единичное – во всех других случаях Пример: Определить тип высказывания (общее, частное, единичное): «Все рыбы умеют плавать» – общее высказывание «Некоторые птицы – водоплавающие» – частное высказывание «Буква Я – гласная» – единичное высказывание

Элементы алгебры логики В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: истина (1) и ложь (0). Логические константы - цифры 0 и 1, которые обозначают значения логических переменных (ложь и истина).

Элементы алгебры логики Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным (составным), а неразложимое далее высказывание – простым (элементарным). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить опреде- ленные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помо- щью логических связок и, или, не. Такие слова и словосочетания назы- ваются логическими связками. Логические выражения – это составные суждения, образующиеся из нескольких простых суждений, соединенных с помощью логических связок (операций): «и», «или», «не», «если …, то …» и т.д. Например, из простых высказываний: «Иванов – ученик 9 класса», «Иванов – любит футбол» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание: «Иванов – ученик 9 класса и любит футбол».

Основные операции алгебры высказываний Конъюнкция (логическое умножение) – соединение двух высказываний А и В в одно с помощью союза «и», а так же «а», «но». Обозначение: *,, &, И, AND,, Примеры: А = «На уроке логики учащиеся познакомились с основными алгебраическими операциями» В = «На уроке логики учащиеся отвечали на вопросы учителя» А В = «На уроке логики учащиеся познакомились с основными алгебраическими операциями и отвечали на вопросы учителя» АВ А В Составное суждение со связкой «и» верно тогда и только тогда, когда верны обе его части

Основные операции алгебры высказываний Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух высказываний А и В одно с помощью союза «или», употребляемого в не исключающем виде, а так же «либо…, либо …», «или…, или…» Обозначение: +,, ИЛИ, OR,, Примеры: А = «Сергей ест мороженное» В = «Сергей читает книгу» А В = «Сергей ест мороженное или читает книгу» АВ А В Составное суждение со связкой «или» верно тогда и только тогда, когда верна хотя бы одна из его частей

Основные операции алгебры высказываний Инверсия (логическое отрицание) – присоединение частицы «не» к сказуемому данного простого высказывания или присоединение слов «неверно что…» ко всему высказыванию. Обозначение: A или или НЕ A или NOT A Примеры: А = «Москва – столица России» = «Москва – не столица России» А Результат операции отрицания истинен, если исходное высказывание ложно, и наоборот

Основные операции алгебры высказываний Импликация (логическое следование) – логическая операция, соответствующая союзу «если..., то...», а так же «из... следует», «... достаточно для...», «для..., необходимо...» Обозначение:,, Примеры: А = «В четырехугольнике все стороны равны» В = «Этот четырехугольник – квадрат» А В = «Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник – квадрат» А В А В Импликация высказываний ложна лишь в случае, когда А истинно, а В ложно

Основные операции алгебры высказываний Эквиваленция (логическое равенство) – логическая операция, соответствующая союзу «…тогда и только тогда, когда …», а так же «... если и только если...», «… в том и только в том случае, когда...», «…необходимо и достаточно…». Обозначение:,,, Примеры: А = «Число 15 делится на 3» В = «Сумма цифр числа 15 делится на 3» А В = «Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3» А В А В Эквиваленция двух высказываний истинна в том и только том случае, когда оба эти высказывания истинны или ложны

Основные операции алгебры высказываний Приоритет логических операций: инверсия конъюнкция дизъюнкция импликация и эквивалентность

Устная работа Какие предложения являются высказываниями? а) Внимание! б) 2*2=4 в) Окружностью называется множество всех точек на плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет заданную величину. г) y 2 0 д) Число символов в слове ИНФОРМАТИКА равно 11. е) 5 < 2 ж) Вы сделали домашнее задание? Ответ: б, д, е

Устная работа Установите: какие из следующих предложений являются истинными, а какие - ложными высказываниями? а) Переводчик должен знать хотя бы два языка. б) Все треугольники равнобедренные. в) Сумма чисел 4 и 11 равна 15. г) Все девочки любят играть в куклы. Ответ: истинные – а, г; ложные – б; в – не является высказыванием

Устная работа б) Если прошел снег, то на улице лето Определи тип высказывания (простое или составное, истинное или ложное): а) Наступил сентябрь, и начался учебный год Ответ: составное, истинное в) Все растения съедобны Ответ: составное, ложное Ответ: простое, ложное

Устная работа Даны высказывания: A – «Математическая логика – важная наука» B – «ВТ построена на законах математической логики» Образуйте из данных высказываний сложные высказывания. При помощи каких логических связок они образованы? Ответ: А и В Математическая логика – важная наука и ВТ построена на законах математической логики. Ответ: А или В Математическая логика – важная наука или ВТ построена на законах математической логики. Ответ: если А, то В Если математическая логика – важная наука, то ВТ построена на законах математической логики. Ответ: тогда и только тогда А, когда В Тогда и только тогда математическая логика – важная наука, когда ВТ построена на законах математической логики. Ответ: неверно что, А и В Неверно что, математическая логика – важная наука и ВТ построена на законах математической логики. Ответы: А и В;А или В;если А, то В; тогда и только тогда А, когда В;неверно что, А и В

Устная работа Определи тип высказывания (общее, частное, единичное): а) Все лекарства неприятны на вкус б) Многие растения обладают целебными свойствами Ответ: общее в) Мой кот – серый Ответ: частное Ответ: единичное

Самостоятельная работа Предлагается работа на два варианта, рассчитанная на 10 мин., оцениваться будет выборочно. Содержание заданий: 1. Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя связку "И", "ИЛИ". 2. Среди приведенных высказываний указать сложные высказывания и записать их с помощью букв. 3. Определить порядок вычисления значение логического выражения. 4. Из предложенных высказываний определить логическое отрицание данного высказывания. 5. Определить значения истинности предложенных высказываний.

Предлагается через 1 мин поочередно называть вслух свое «ключевое слово», лишь одно слово, с которым ассоциируются содержание (или оценка) состоявшегося дела, взаимодействия и его результаты. Рефлексия деятельности на уроке «КЛЮЧЕВОЕ СЛОВО»

Содержание карточек с домашним заданием: 1. Выучить основные определения и понятия, знать обозначения. 2. В тетради составить примеры следующих суждений и определить их значения: истинного и ложного;не суждения; составного;простого; частного;единичного; общего. 3. Выделите в составных высказываниях простые высказывания. Обозначьте каждое из них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. 1) Число 1246 четное и четырехзначное. 2) Неверно, что сентябрь – летний месяц. 3) Если у тебя заболело горло, то обязательно надо обратиться к врачу. 4) Он позвонит или пошлет сообщение по электронной почте. 5) Мы поедем на дачу тогда и только тогда, когда будет хорошая погода. Информация о домашнем задании

1. Первые шаги в мире информатики. Опорные конспекты для 9 класса / С. Н. Тур, Т. П. Бокучава. – СПб.: БХВ-Петербург, Компьютер / Ю.Л. Кетков. – М.: Дрофа, Алгебра логики в задачах / С.Г. Гиндикин. – Наука, Информатика. Основы логики: 7–9 классы / Е.Ю. Кузнецова, Н.Н. Самылкина. – Бином, Булевы алгебры / Д.А. Владимиров. – Оникс, Список используемой литературы