Выполнила учитель физики и математики МБОУСОШ 8 г. Волжский Волгоградской области Рязанова Наталья Игнатьевна

Проблема: какими свойствами обладает треугольник Паскаля, как и в каких областях они применяются? Гипотеза исследования: треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей.

Цель исследования: привести достаточное количество примеров свойств чисел треугольника Паскаля и примеров применения треугольника для доказательства гипотезы.

Задачи исследования: 1. Найти и изучить имеющийся материал о треугольнике Паскаля. 2. Выявить свойства чисел треугольника Паскаля. 3. Определить применение свойств чисел треугольника Паскаля. 4. Провести эксперимент по сравнению свойств различных арифметических треугольников. 5. Сформулировать вывод и итоги исследования.

Объект исследования: числа треугольника Паскаля. Методы исследования: анализ научно-популярной литературы; систематизация; сравнение; эксперимент.

"Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике". Мартин Гарднер "Математические новеллы" 1974

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Свойство 1: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. Свойство 2: Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль прямых, параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями)выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Удивительное свойство треугольника Паскаля Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат окажется непредсказуемо- удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор.

Допустим, совершив крупную покупку парфюмерном магазине вы можете в подарок выбрать себе 2 косметических набора из 5 представленных.Сколько же различных выборов вы можете сделать? Для ответа на этот вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 2 и строки 5: оно оказывается равным 10.

Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 8. "Спустившись" по диагонали до числа 8, мы увидим слева снизу от него число 36. Из него мы и получим конечную сумму.

ВЫВОД: В ходе нашего исследования мы убедились, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно и старшекласснику. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей. Материалы данной работы могут быть использованы в качестве дополнительного занимательного материала на уроках математики и кружковых занятиях.

Используемая литература и интернет-источники: Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/ Сост. Аксенова М.Д. – М.: Аванта+, Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А.П. – Педагогика, h t t p : / / r u. w i k i p e d i a. o r g / w i k i / Т р е у г о л ь н и к _ П а с к а л я h t t p : / / b i o s t u d l i f e. h i b l o g g e r. n e t h t t p : / / w w w. a r b u z. u z / u _ t r e u g. h t m l h t t p : / / i m a g e. w e b s i b. r u / 0 7 / t e x t _ a r t i c l e. h t m ? 3 4 2