Экстремумы функции одного переменного Пусть X – область определения функции y = f(x) и точка x 0 X. Определение 1. Число М называется локальным максимумом функции y = f(x), если существует такая окрестность точки x 0, что для всех x из нее выполняется неравенство f(x)f(x 0 ). При этом M = f(x 0 ), а сама тока x 0 называется точкой локального максимума. Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции y = f(x), если существует такая окрестность точки x 0, что для всех x из нее выполняется неравенство f(x)f(x 0 ). При этом m = f(x 0 ), а сама тока x 0 называется точкой локального минимума. Определение 3. Локальный минимум и локальный максимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка x 0 называется точкой локального экстремума. Теорема Ферма. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x 0 и достигает в этой точке локального экстремума, то f(x 0 ) = 0. Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками. Определение 5. Точки, в которых функция имеет производную равную нулю, или не является дифференцируемой, называются критическими точками. Для того, чтобы точка x 0 была точкой экстремума функции y = f(x), необходимо, чтобы точка x 0 являлась критической точкой данной функции.

Достаточные условия существования экстремума функции Теорема 1. (достаточные условия того, чтобы стационарная точка являлась точкой экстремума) Пусть функция y = f(x) дифференцируема на множестве X, x 0 X стационарная точка функции y = f(x) и f(x 0 ) = 0. Тогда: 1. Если при переходе через точку x 0 производная функции y = f(x) меняет знак с «плюса» на «минус, т.е. f(x ) > 0 слева от точки x 0 и f(x )< 0 справа от точки x 0, то x 0 – точка локального максимума функции y = f(x). 2. Если при переходе через точку x 0 производная функции y = f(x) меняет знак с «минуса» на «плюс, т.е. f(x ) 0 справа от точки x 0, то x 0 – точка локального минимума функции y = f(x). Схема для решения задач на определения экстремума функций: 1. Установить область определения функции y = f(x) 2. Найти производную функции y = f(x) 3. Найти критические точки функции y = f(x), т.е. точки в которых f(x) = 0, и точки в которых f(x ) не определена 4. Определить знак производной на числовых интервалах, на которые критические точки разбили область определения функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на числовом отрезке Пусть функция y = f(x) непрерывна на числовом отрезке [a;b] и имеет несколько критических точек на этом отрезке. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на этом отрезке [a;b] удобно использовать следующую схему: 1. Найти производную функции y = f(x) 2. Найти стационарные и критические точки функции y = f(x), выбрать из них те, которые попадают на числовой отрезок [a;b] 3. Найти значения функции y = f(x) в этих точках 4. Найти значения функции y = f(x) в точках x = a и x = b 5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее Замечание. Нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если стоит задача найти только наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на числовом отрезке [a;b]

Информационные ресурсы Учебно-тренировочные задания Часть I B11 Банк задач Теория и примеры Справочные материалы