Учитель математики БОУСОШ 1 Колокольцева А. В.

Дано: АВ : ВС : АС=2:3:4 Найти: АОВ, ВОС, АОС АВ С О Дано: МО N= EOK, MON : NOK : MOE= 3:4:5 Найти: МЕ, NK, КЕ. М N K E О

Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный АВС опирается на АМС. B O C M A B O C M A

Пусть АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на АС. Докажем, что АВС = половине АС ( на которую он опирается ). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС. Рассмотрим их.

Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае АС меньше полуокружности, поэтому АОС = АС. Так как АОС внешний угол равнобедренного АВО, а 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС = 1+ 2 = 2 1. Отсюда следует, что 2 1 = АС или АВС = 1 = 1/2 АС. O B 2 1 C A

В этом случае луч ВО пересекает АС в некоторой точке D. Точка D разделяет АС на две дуги : А D и DC. По доказанному в п.1 АВ D = 1/2 AD и DBC= 1/2 DC. Складывая эти равенства попарно, получаем : ABD + DBC = 1/2 А D + 1/2 DC, или АВС = 1/2 АС. A B C D

АВ D равнобедренный, AOD - внешний, т. к. ABD - равнобедр. То 1 = 2 => AOD = = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично : ВСО равнобедр. COD - внешний, следовательно СВ D= 1/2 CD. Следовательно, АВС =1/2 АС A O B C D

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой.