Геометрия глава 7 Подобные треугольники. Подготовила Пономарева Кристина ученица 9 класса СПб лицей 488( учитель Курышова Н.Е ).

Оглавление 1. Определение подобных треугольников а)пропорциональные отрезки б)определение подобных треугольников в)Отношение площадей 2. Признаки подобия треугольников а)Первый признак подобия б)Второй признак подобия в)Третий признак подобия 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач а)Средняя линия треугольника б)Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике в)Практические приложения подобия треугольников 4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника а)Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника б)Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0, 45 0 и 60 0

П ОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е. АВ:CD АВ СD АВ = 8 см СD = 11,5 см

Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1, если: СD С1С1 D1D1 A1A1 В1В1 A1A1 В1В1 A1A1 В1В1 A1A1 В1В1 АВ С 1 D 1 = 6 см АВ= 4 см CD= 8 см А 1 В 1 =3 см

Подобные фигуры- это фигуры одинаковой формы

Если в треугольниках все углы соответственно равны, то стороны, лежащие напротив равных углов, называются сходственными Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 углы соответственно равны То АВ и А 1 В 1,ВС и В 1 С 1,СА и С 1 А 1 - сходственные A B C A1A1 B1B1 C1C1

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника K- коэффициент подобия A B C A1A1 B1B1 C1C1

З АДАЧА

назад Стороны одного треугольника равны 15 см, 20 см, и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если периметр равен 26 см

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия Доказательство:,коэффициент подобия равен К Пусть S и S 1 - площади треугольников, то По формуле имеем и Поэтому A B C A1A1 B1B1 C1C1

П РИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Первый признак подобия треугольников Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны Дано:Доказать: А В С А1А1 В1В1 С1С1

Доказательство 2)Докажем, что стороны треугольников пропорциональны Итак, стороны 1)По теореме о сумме углов треугольника,то Аналогично и с углами пропорциональны сходственным сторонам А В С В1В1 А1А1 С1С1

З АДАЧА

Докажите, что два равносторонних треугольника подобны

Второй признак подобия треугольников Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны Дано:Доказать: А В С В1В1 А1А1 С1С1

Доказательство С2С2 1 2 А1А1 В1В1 С1С1 А С В

З АДАЧА

На одной из сторон угла А отложены отрезки АВ=5 см и АС=16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8 см и AF=10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB

Третий признак подобия треугольников Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны Дано: Доказать: А В С В1В1 А1А1 С1С1

Доказательство А1А1 В1В1 С1С1 А С В С2С2 1 2

П РИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Дано:Доказать:

Доказательство 2 MN 1 А В С

З АДАЧА

Точки P и Q-середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины Дано:Доказать: C A B1B1 A1A1 B C1C1 O

Доказательство C A B1B1 A1A1 B C1C1 O

З АДАЧА

В треугольнике АВС медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S

Теорема: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику Дано:Доказать: Доказательство A C B D

Теорема: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой Дано:Доказать: A C B H

Доказательство A C B H

Определение высоты предмета: Определить высоту телеграфного столба Практические приложения подобия треугольников A1A1 B C1C1 A Из подобия треугольников следует:, откуда

З АДАЧА

Для определения высоты дерева можно использовать зеркало. Луч света, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в точку В. Определить высоту дерева, если АС=165 см, ВС=12 см, АD=120 см, DE=4,8 м,

Определение расстояния до недопустимой точки: Практические приложения подобия треугольников A B A1A1 B1B1 C1C1 C

З АДАЧА

Для определения расстояния от точки А до недопустимой точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник А1В1С1, подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если АС=42 м, А1С1=6,3 см,А1В1=7,2 см

С ООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике Тангенс- отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике А В С

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0, 45 0, 60 0 А В С

З АДАЧА

Дано: Решение:

А В С 45 0 Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0, 45 0, 60 0

З АДАЧА

H DА С В Дано: Решение:

К ОНЕЦ