Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ гимназии 80 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
Содержание Справочный материал Применение производной для исследования функции на монотонность Применение производной для исследования функции на экстремумы Применение производной для нахождение наибольшего и наименьшего значений. Касательная к графику функции Производная и её график. Комбинированные задачи.
Справочный материал Исследование функции на монотонность Признак возрастания функции: Если f / (х)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.
Справочный материал Исследование функции на монотонность Признак убывания функции: Если f / (х)
Справочный материал Исследование функции на экстремумы Признак максимума функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, а f / (х)>0 на интервале (a;х 0 ) и f / (х)
Справочный материал Исследование функции на экстремумы Признак минимума функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, а f / (х)0 на интервале (х 0 ;b ), то x 0 является точкой минимума. Упрощённая формулировка: Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка максимума. ЗАДАЧИ
Справочный материал Наибольшее, наименьшее значения функции. Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b). Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение ЗАДАЧИ
Справочный материал Касательная к графику функции f / (x 0 ) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у=f(x) в точке х 0. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси ОХ. K = tg a = f / (x 0 ) Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х 0 : у=f(x 0 )+ f / (x 0 )(х-х 0 ) ЗАДАЧИ
Применение производной для исследования функции на монотонность справка
Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 104 изображен ее график. Укажите число промежутков, на которых отрицательна функция у = f'(х). 4
Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 105 изображен график её производной. Укажите число промежутков, на которых функция у = f"(x) положительна. 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 7). На рисунке 112 изображён график её производной. Найдите максимальную длину промежутка, на котором f(x) постоянна. 2
На рисунке 113 изображен график производной функции у = f(x). Укажите число промежутков возрастания функции у = f(x). 3
На рисунке 114 изображен график производной функции у = f(x). Укажите количество промежутков убывания функции у = f(х). 2
Применение производной для исследования функции на экстремумы справка
Функция у = f(x) определена на промежутке (a; b). На рисунке 99 изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции у = f(x - 1) на промежутке (a + 1; Ь + 1). 4
Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 110 изображен график её производной. Найдите количество точек максимума функции у =f(x) + 2 х. 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 111 изображен график её производной. Найдите количество точек минимума функции у = f(x) - Зх. 2
Функция у = f(х) определена на промежутке (а; b). На рисунке 78 изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции у = f(x) х на промежутке (а; b). 4
Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). На рисунке 79 изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции у = f(x) + 2 х на промежутке (а; Ь). 3
Функция у =f(x) определена на промежутке (a;b). На рисунке 80 изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции у= f(x) + х на промежутке (а; b). 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (а; b). На рисунке 81 изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции у = f(x) - Зх на промежутке (а; b), 3
Функция у =f(х) определена на промежутке (а; b). Ее производной является функция у = f'(x), a на рисунке 84 изображен график функции у = f'(x) + 2. Укажите число точек максимума функции у = f(x) на промежутке (а; b). 3
Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений. справка
Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-8; 7]. На рисунке 100 изображен график ее производной. Определите точку оси Ох, в которой функция у= f(x) достигает своего наибольшего значения на отрезке [-8; 7]. 7
Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-7; 6]. На рисунке 101 изображен график ее производной. Определите точку оси Ох, в которой функция у =f(x) достигает своего наибольшего значения на отрезке [-7; 6]. -3
Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [5; 5]. На рисунке 106 изображен график ее производной. Найдите точку х 0, в которой функция принимает наибольшее значение, если f(-5) f(5). 4
Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [5; 5]. На рисунке 107 изображен график ее производной. Найдите точку х 0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) f(5). 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (4; 6). На рисунке 108 изображен график её производной. Найдите точку, в которой разность функций у = f(x) и у = х + 3 принимает наибольшее значение. -2
Функция у= f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 109 изображен график её производной. Найдите точку, в которой разность функций у = f(x) и у = 2 х 1 принимает наименьшее значение. 4
Касательная к графику функции справка
Функция f(x) определена на промежутке (а; Ь). На рисунке 103 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f(x) параллельна оси абсцисс. 4
Функция f(x) определена на промежутке (а;Ь). На рисунке 102 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f(x) параллельна оси абсцисс. 6
На рисунке 74 изображена прямая, являющаяся касательной к графику функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x)). Найдите значение производной у = f'(x) в точке x 0. 1,5
На рисунке 75 изображена прямая, являющаяся касательной к графику функции у = f(x) в точке (x 0 ; f(x 0 )). Найдите значение производной у = f'(x) в точке х ,6
На рисунке 76 изображена прямая, являющаяся касательной к графику четной функции у = f(x) в точке (х 0 ;f(x 0 )). Найдите значение производной у = f(x) в точке - x 0. -0,4
На рисунке 77 изображена прямая, являющаяся касательной к графику нечетной функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x 0 ))- Найдите значение производной у=f / (x) в точке - х ,2
На рисунке 82 изображены прямые, являющиеся касательными к графику функции у = f(x) в точках с абсциссами х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. Определите количество положительных чисел среди значений производной у = f'(x) в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. 1
На рисунке 83 изображены прямые, являющиеся касательными к графику функции у = f(x) в точках с абсциссами х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. Определите количество неположительных чисел среди значений производной у = f'(x) в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. 4
К графику функции у = f(x), заданной на отрезке [8; 7], проведена касательная в точке с абсциссой x 0. Определите значение выражения x 0 +f(x 0 ), если на рисунке 85 изображены эта касательная и график производной у = f'(x) данной функции. - 11
К графику функции у = f(x), заданной на отрезке [7; 6], проведена касательная в точке с абсциссой х 0. Определите значение выражения x 0 + f(x 0 ), если на рисунке 86 изображены эта касательная и график производной у = f'(x) данной функции. 0
Функция у = f(x) определена на промежутке (4; 5). На рисунке 6 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс. 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 6). На рис. 9 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые наклонены под углом 27° к положительному направлению оси абсцисс. 4
Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 6). На рис. 12 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 53° к положительному направлению оси абсцисс. 2
Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 5). На рисунке 15 изображен график ее производной. Укажите максимальную длину промежутка, на котором касательная к графику функции у = f(x) образует с положительным направлением оси Ох угол, больший 45°. 4
Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 5). На рисунке 18 изображен график ее производной. Укажите максимальную длину промежутка, на котором касательная к графику функции у = f(x) образует с положительным направлением оси Ох угол, больший - 45°. 6
Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 4). На рисунке 21 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(х), которые наклонены под острым углом к положительному направлению оси абсцисс, если синус этого угла равен 3/5. 5
Функция у = f(x) определена на промежутке (3; 7). На рисунке 24 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(х), которые наклонены под острым углом к положительному направлению оси абсцисс, если косинус этого угла равен 5/13. 5
Функция у = f(x) определена на промежутке (3; 7). На рисунке 33 изображен график ее производной у = f'(x). Найдите общее число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углами 30° и 45° к положительному направлению оси абсцисс. 6
Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 4). На рисунке 39 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у =f(х), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 4). На рисунке 45 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (7; 3). На рисунке 48 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(x), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 4
Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 4). На рис. 51 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у= f(x), которые наклонены под тем же углом к положительному направлению оси абсцисс, что и касательная в точке 1 (исключая ее саму). 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (2; 7). На рис. 54 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под тем же углом к оси абсцисс, что и касательная в точке х = 2 (исключая ее саму). 4
Производная и её график. Комбинированные задачи.
На рисунке 115 изображен график функции f(x) = ах 2 + Ьх + с и четыре прямые. Одна из этих прямых график производной данной функции. Укажите номер этой прямой. 1
На рисунке 116 изображен график функции f(x) = ах 2 + Ьх + с и четыре прямые. Одна из этих прямых график производной данной функции. Укажите номер этой прямой. 2
На рисунке 117 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для строго возрастающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 3
На рисунке 118 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для убывающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 1
На рисунке 119 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для возрастающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 4
Функция у f(x) определена на промежутке (5; 6). График ее производной изображен на рисунке 120. Укажите количество промежутков, на которых функция у = f(x) представляет собой константу. 3
Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 6). График ее производной изображен на рисунке 121. Укажите количество промежутков, на которых функция у = f(х) представляет собой линейную функцию. 5
Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 6). График ее производной изображен на рисунке 122. Укажите количество промежутков, на которых функции у = f(x) представляет собой квадратичную функцию. 4