Геометрия глава 10 Подготовила Голкова Анна 9 класс СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

Содержание Разложение вектора по двум неколлинеарнымем. Лемма Разложение вектора по двум неколлинеарнымем. Лемма Координаты вектора. Правила действий над векторами с заданными координатами. Правила действий над векторами с заданными координатами. Простейшие задачи в координатах: 1)Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора.1)Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. 2) Координаты середины отрезка 3) Вычисление длины вектора по его координатам.3) Вычисление длины вектора по его координатам 4) Расстояние между двумя точками Уравнение окружности Уравнение прямой Заключение

Лемма Если векторы а и в коллинеарные и а=0,то существует такое число к, что в=ка. и 2. и Из пункта 1 и 2 следует, что

Теорема Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарнымем векторам и,причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Пусть и неколлинеарныме (не являются параллельными и не 0 )

Доказательство. О О AP B OAPB- //-мм OP=OA+OB ; ОA=x OB=y по Лемме // 1.Докажем,что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарнымем векторам и 1) ; 2) 3) PA// PB//

О AP B О 2.Докажем,что х и y определяются единственным образом -методом от противного. Пусть существует еще один набор и,что но -противоречие,т.к. // (по усл. Теоремы) допущение о том, что. неверно, значит, теорема доказана.

Координаты вектора x y 1 1 ; ; и - единичные векторы не // x и y- коэффициенты { х ; y} x ; y – координаты и - координатные векторы x ; y – координаты

Равные векторы имеют равные координаты х y {4 ;3} Координаты вектора - это коэффициенты разложения этого вектора по и. Правила действий над векторами с заданными координатами.

1. Пусть, тогда Следовательно, х 1 = х 2 ; у 1 = у 2

Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Дано: Доказать: Следовательно, Док-во:

Координаты противоположных векторов противоположны. Пусть { х ; y} { -х ; -y}

Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат вычитаемых векторов. Дано: Доказать: Следовательно, Док-во:

Координаты коллинеарныех векторов пропорциональны. y x A (x ; y) O { х ; y} Координаты p-вектора численно равны координатам точки, являющейся концом этого вектора. A (x ; y) { х ; y}

Простейшие задачи в координатах y x А (x 1 ; y 1 ) B(x 2 ; y 2 ) O 1. Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. Дано: точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) Найти : AB {?;?} Решение: AB = OB – OA B (x 2 ; y 2 )=> OB {x 2 ; y 2 } A (x 1 ; y 1 )=> OA {x 1 ; y 1 } => => AB {x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 }

Задача. y x А (2;3) B(3; 1) O Дано: точки А(2 ; 3) и B(3; 1) Найти : AB {?;?} Решение: AB = OB – OA AB {x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 } AB {3-2 ; 1-3} => AB {1; -2} Ответ : AB {1; -2}

2. Координаты середины отрезка A (x 1 ; y 1 ) ;B (x 2 ; y 2 ) C (x 0 ; y 0 ) – середина AB координаты х 0 ;y 0 -? 1) Пусть AB не // оси Oy, т. е. x 1 x 2. Проведем через точки A, B и C прямые, // оси Oy Эти прямые пересекают Ox в точках A 1 (x 1 ; 0), B 1 (x 2 ; 0) и C 0 (x 0 ; 0) Тогда по теореме Фалеса точка C 0 (x 0 ; 0) середина A 1 B 1, т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 |. x 0 – x 1 = x 0 – x 2 x 1 = x 2 ( неверно, т.к. x 1 х 2 ) x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ) x y O A B C A1A1 B1B1 C0C0 =>

2) Пусть AB // оси Oy, т. е. x 1 = x 2. =>A 1, B 1, C 0 имеют одну и ту же абсциссу => 3) Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, // оси Oх x y O A B C x y O A B C => A1A1 C0C0 B1B1 A1A1 C0C0 B1B1

x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) C (x 0 ; y 0 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Серединой отрезка AB является точка С, где A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ): x0x0 y0y0

Задача. Концами отрезка служат точки A (–8; –5), B (10; 4). Найдите координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части. Решение. Пусть точки C и D имеют координаты (x C ; y C ) и (x D ; y D ). 1) Найдем абсциссы точек C и D. Так как точка C – середина отрезка AD, то выполняется равенство Так как точка D – середина отрезка CB, то 2x C = x D – 8 x C = –2 2x D = 10 + x C x D = 4

2) Найдем ординаты точек С и D. 2y C = y D – 5, 2y D = y C + 4, y C = –2, y D = 1. Ответ: C (–2; –2), D (4; 1).

3. Вычисление длины вектора по его координатам. Дано : точка A (х ; y); {х;y} Док-ть: x y OA1A1 A2A2 A (х ; y) OA= { х;y} Док-во. Координаты точки A равны координатам вектора OA, т.е. (х; y) => OA 1 =|x|,AA 1 =OA 2 =|y| (если х=0 и y=0 ), => (по Теореме Пифагора) Но, поэтому ч.т.д

x y OA1A1 A (5 ; 3) OA= { 5;3} Док-во. Координаты точки A равны координатам вектора OA, т.е. (5; 3) => OA 1 =|5|,AA 1 =OA 2 =|3| (если х=0 и y=0 ), => (по Теореме Пифагора) Но, поэтому A2A2 Задача. Дано : точка A(5 ; 3); {5;3} Найти: | | -? Ответ: | | =6

Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат с точками A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ). Тогда расстояние d (A, B) = AB между точками A и B можно найти по формуле x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 4. Расстояние между двумя точками

l1l1 x y O l2l2 A B C => AB не // х ; y Доказательство формулы: Пусть С –точка пересечения прямых l 1 и l 2 В ABC: AC = BC = или

Заметим, что формула верна и для случаев: а) х 1 = х 2, y 1 =y 2 (отрезок // оси Oy,рисунок 1) б) х 1 = х 2, у 1 = у 2 (отрезок // оси Ox, рисунок 2) в) х 1 = х 2, у 1 = у 2 (точки A и B совпадают). В случае а) d (A,B) = AB =. В случае б) d (A, B) = AB =. Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0. x y Ox y1y1 y2y2 A (x; y 1 ) B (x; y 2 ) x y O A (x 1 ; y) B (x 2 ; y) x1x1 x2x2

Задача. Дано: АВСD-квадрат A (8; 8),B (5; 5). SABCD -? Решение. S ABCD = AB² => S ABCD = AB = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед. A BC D

Уравнение окружности Окружность- геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой, которая называется центром окружности. Составим уравнение окружности с центром в точке С (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. СM = R. => квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = R 2. x y O C x0x0 y0y0 M (x; y) (x 0 ; y 0 ) -координаты центра окружности (х ; y ) -координаты любой точки

Пусть точка M (x; y) не принадлежит окружности, тогда СM 2 R 2, а значит, (x – x 0 ) 2 + (у –y 0 ) 2 R 2, =>координаты точки M не удовлетворяют уравнению (x – x 0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2 В частности, уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид: x 2 + y 2 = R 2 x y O C x0x0 y0y0 M (x; y)

Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. x y OA B M 1) Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = ) 3) (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. => x 2 + y 2 =16. Ответ: x 2 + y 2 =16

Уравнение прямой Дано: точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ), l – серединный перпендикуляр к AB 1) Если точка M (x; y) лежит на прямой l, то AM = BM, => координаты точки M удовлетворяют уравнению (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 = (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2, ax + by + c = 0 x y O l A B M

2) Если точка M (x; y) не лежит на прямой l, то AM BM и AM 2 BM 2, => координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0. Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени: ax + by + c = 0, где a и b одновременно не равны нулю. x y O A B M l Если a = 0, то y = c 1 – прямая || Ox. Если b = 0, то y = c 2 – прямая || Oy. Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

Задача. Т.к. угловой коэффициент k 1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол α =45 o, то имеем уравнение для определения k: (2/3 + k)/ (1 - 2/3k) = 1 (2/3 + k)/ (1 - 2/3k) = -1. K= 1/5 K= -5 Ответ: x-5y+2=0 5x+y-16=0 Х-5y+2=0 Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 o. Решение. y=kx+b. 1=3k+b, b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k 1 x+b 1 y= kx+b определяется формулой tgα= x/y

Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать ее, используя знания по алгебре.