Геометрия глава 8 Тема : «О Геометрия глава 8 Тема : «Окружность». Подготовила Иванова Наталья 9 «а» класс СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

1. Касательная к окружности. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности. 2. Центральные и вписанные углы. Градусная мера дуги окружности. Теорема о вписанном угле. 3. Четыре замечательные точки. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Теорема о пересечении высот треугольника. 4. Вписанная и описанная окружности. Вписанная окружность. Описанная окружность.

Окружность геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. О r

Взаимное расположение прямой и окружности. d О A B H r р r do р М Н М Н р r d О d < r.d = rd > r Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, проходящая через любые две точки окружности, называется секущей.

Взаимное расположение прямой и окружности. do A B H r р А и В - общие точки. Теорема. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют 2 общие точки. Дано: окружность, прямая р; ОН < r. Доказать: А и В - общие точки. Доказательство: ОА 2 = ОН 2 + НА 2 = d 2 + ( r 2 –d 2 ) =>ОА=r ОВ 2 = ОН 2 + НВ 2 = d 2 + ( r 2 –d 2 ) => ОВ=r

Взаимное расположение прямой и окружности. М Н р r d О Теорема. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Дано: окружность, прямая р; ОН = r. Доказать: Н – общая точка. Доказательство: d = r. ОМ>ОН => М – не лежит на окружности. Н – общая точка.

Взаимное расположение прямой и окружности. r do р М Н Теорема. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. Дано: окружность, прямая р; ОН > r Доказать: нет общих точек. Доказательство: ОН > r и ОМ ОН, М не лежит на окружности.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Касательная к окружности. Дано: касательная р; окружность; А – точка касания. Доказать: р ОА. Доказательство: ОН 2 общие точки – неверно => р ОА.. О р А О A B р Н

Дано: ВА и АС – касательные; окружность, проходящие через точку А. Доказать: АВ = АС и 3 = 4. Доказательство: 1 = 2 = 90 0 ; АВО=АСО (ОА – общая; ОВ =ОС). АВ = АС и 3 = 4. О А B С Свойство. Отрезки касательных к окружности, проедённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Касательная к окружности.

О Доказательство: r=ОА; только 1 общая точка. Р – касательная. А Дано: окружность; луч р, перпендикуляр ОА. Доказать: р – касательная. Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Касательная к окружности. р

Задача: Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найти АВ, если ОА=2 см, а r=1,5 см. Дано: ОА=2 см, r=1,5 см, АВ – касательная. Найти: АВ-? Решение: АВ – касательная => ОВ АВ, АВ 2 =ОА 2 – ОВ 2 АВ 2 = 1,74 АВ = 1,3. А В О Ответ: АВ = 1,3 Касательная к окружности.

Градусная мера дуги окружности. Обозначение полуокружности: АсB и AkB О c В Аk Сумма всех градусных мер окружности равна Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.

Угол, вершины которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. О А В С М Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теорема вписанном угле.

Дано: окружность; лучи ВА, ВС; АВС Доказать: АВС = ½ АС. Доказательство: луч ВО совпадает с ВС. АОС = АС, т.к АОС – внешний угол АВО; 1 = 2 => АОС = 1 + 2= = АС или 1= АВС = ½ АС. О А В С Луч ВО совпадает с одной из сторон АВС.

О А В С D АВD + DВC = ½ АD + ½ DC. или АВС = ½ АС Теорема вписанном угле. Дано: окружность; лучи ВА, ВС; АВС Доказать: АВС = ½ АС. Доказательство: луч ВD делит АВС на ABD и DВА => АD и DC. По 1 АВD = ½ АD и DВС = ½ СD 2. Луч ВО делит АВС на два угла.

3. Луч ВО не делит АВС на 2 угла и не совпадает со стороной этого угла. Теорема вписанном угле. О А В С D Дано: окружность; лучи ВА, ВС; АВС Доказать: АВС = ½ АС. Доказательство: АВD= ½ АСD; СВD = ½ CD => АВD - CBD= ½ ACD - ½ CD АВС = ½ АС.

О А В С D О В А С Теорема вписанном угле. Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Дано: окружность; хорды АВ и СD; Е – точка пересечения. Доказать: АЕ ВЕ = СЕ DЕ. Доказательство: АDЕ, СВЕ : 1 = 2 (вписанные и опираются на ВD), 3 = 4 (вертикальные) => АDЕ СВЕ. E D В А С 1 2 Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Теорема вписанном угле. АЕВЕ = СЕDЕ 3 4 O

Теорема вписанном угле. Задача: Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140 0, а большая точкой М делится в отношенииa 6:5, считая от точки А. Найти ВАМ. Дано: АВ=140 0, АМ: МВ=6:5 Найти: ВАМ-? Ответ: ВАМ = 50 0 Решение: АМВ=360 0 ; АВ = =220 0 АМ: МВ=6:5 => АМ = 6 х, МВ = 5 х; 6 х+5 х=220 Х=20 АМ=20 6=120 0 ; МВ=20 5=100 0 ВАМ = ½ ВМ = 50 0 в м о А

1 2 К В А С М L Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Отрезок, делящий угол на два равных угла называется биссектрисой. Прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикуляра к нему называется серединным перпендикуляром.

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. 1 2 К В А С М L Дано: ВАС; точка М; МК и МL – перпендикуляры. Доказать: МК = ML. Доказательство: АМК =АМL (гипотенуза АМ, 1 = 2 по условию) => МК = ML. Дано: ВАС; точка М; Докажем : АМ – биссектриса ВАС. Доказательство: МК и МL – перпендикуляры. АМК =АМL (АМ – общая, МК = МL по условию ). => 1 = 2 АМ – биссектриса ВАС 1 2 1

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Дано: АВС биссектрисы АА 1, ВВ 1 и СС 1 - перпендикуляры ОК,ОL,ОМ. Доказать: О – точка пересечения биссектрис. Доказательство: ОК = ОМ и ОК = ОL (по теореме) => ОМ=ОL => биссектрисы пересекаются в точке О. О С1С1 К В С А1А1 М А L В1В1 Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: АВM; прямая m, точка О. Доказать: АМ = ВМ. Доказательство: М и О – различные точки; ОАМ = ОВМ (ОА = ОВ ; ОМ – общий катет) => АМ = ВМ. В М А О m Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратная : каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Дано: АВN; прямая m, точка О. Доказать: N лежит на m. Доказательство: N – точка равноудаленная от концов отрезка АВ ; АNВ – равнобедренный (АN = ВN) => NО – медиана и высота => NО АВ => NО и m совпадают. В N А О m N лежит на m

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. О В СА Дано: АВС ; m, n, p – срединные перпендикуляры. Доказать: О – точка пересечения срединных перпендикуляров. Доказательство: ОВ=ОА и ОВ=ОС => ОА=ОС => О – точка пересечения срединных перпендикуляров. n p m Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одой точке.

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Задача: Стороны А=60 0 касаются окружности с центром О, радиуса r=5cм. Найти ОА. Дано: АВ, АС – касательные, А=60 0, r=5cм. Найти: ОА. Ответ: ОА=10 см. Решение: ОВ АВ, ОС АС => ОА – биссектриса. С=90 0, А=30 0,ОС=5 см,ОА=2 5 ОА=2 ОС ОА=2 5=10 см. В С А О r

Дано: АВС; Доказать: АА 1 ; ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О. Доказательство: проведём прямые А 2 В 2,В 2 С 2 и А 2 С 2 => А 2 В 2 С 2 ; АВ = А 2 С и АВ = СВ 2 => А 2 С= СВ 2. С 2 А = АВ 2 и С 2 В = ВА 2 СС 1 А 2 В 2, АА 1 В 2 С 2, ВВ 1 А 2 С 2. => АА 1, ВВ 1 и СС 1 – серединные перпендикуляры к сторонам А 2 В 2 С 2. => АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О. Теорема о пересечении высот треугольника. С1С1 В С А1А1 А В1В1 С2С2 А2А2 В2В2 Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. О

Теорема о пересечении высот треугольника. Задача: Высоты АА 1 и ВВ 1 равнобедренного треугольника АВС, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС – серединный перпендикуляр. Дано: АВС, АА 1 и ВВ 1 – высоты, М – точка пересечения АА 1, ВВ 1. Доказать: МС – серединный перпендикуляр. Ответ: ВК=КА. Доказательство: СМ АВ (замечательное свойство треугольника). ВКС = АСК (СК – общая, ВС=АС) ВК=КА. В С А М К А1А1 В1В1

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным. С А М N В О L Вписанная окружность.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Дано: АВС; О – пересечение биссектрис. Доказать: окружность вписанная. Доказательство: проведём перпендикуляры ОК, ОL, ОМ. => ОК=OL=ОМ. (по теореме биссектрис) => Окружность проходит через точки К, L, М. окружность вписанная. С А М К В ОL

Вписанная окружность. Теорема. В любом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Дано: АВСD; окружность. Доказать: АВ+CD=BC+AD. Доказательство: АВ+CD=a + b + c + d; BC+AD= a + b + c + d АВ+CD=BC+AD c АD В О С d d a a b b c

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Вписанная окружность. Дано: АВСD; окружность; АВ+СD=ВС+AD. Доказать: окружность вписанная в АВСD. Доказательство: точка О – пересечения биссектрис АО и ВО. Проведём окружность. окружность вписанная в АВСD. А В О С D

Вписанная окружность. Дано: АВСD; окружность; АВ+СD=ВС+AD. Доказать: окружность вписана в АВСD. Доказательство: точка О – точка пересечения АО и ВО. Нарисуем окружность. CD не имеет общих точек с окружностью. Проведём МК. => АВ+МК=ВС+АК ВМ=ВС-СМ,АК=АD-DK =>МК+МС+КD=ВС+АD-АВ МК+МС+КD=CD => невозможно. А В О С D М К

Вписанная окружность. Задача: В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона 13 см. Найдите радиус окружности в этот треугольник. Дано: АВС, АС=10 см, АВ=ВС=13 см; окружность. Найти: r - ? Ответ: r = 3 Решение: АВС ОВМ ( В - общий, К= М=90 0 ) => АВ = ВК = АК ОВ ВМ ОМ АВ 2 = ВК 2 +АК 2 => 13 2 =5 2 +АК 2 АК = 12 13= 12 = 55(12-r)=13r, 18r=60 => r = 3 12-r ВМ В С А О К М r

Описанная окружность. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной. Если все вершины многоугольника лежат в окружности, то многоугольник называется вписанным. В С А D О

Описанная окружность. Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность. Дано: АВС; О – точка пересечения серединных перпендикуляров. Доказать: окружность описана около АВС. Доказательство: проведём ОА=ОВ=ОС (т.к. О равноудалена от вершин) => ОА – r => окружность описана около АВС О В С А

Описанная окружность. Свойство. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна Дано: окружность, АВСК. Доказать: А+ С=180, В+ К=180 Доказательство: А= ½ ВСК, С= ½ ВАК => А+ С= ½ ( ВСК+ ВАК) = ½ 360 = В С АК О

Описанная окружность. Свойство. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 0, то около неё можно описать окружность. Дано: АВСК, А+ С= Доказать: окружность описана вокруг четырёхугольника. Доказательство: проведём окружность через А,В,К ; С = ½ ( ВАК +8 РЕ) => С > ½ ВАК А = ½ ВЕК О В С А Е Р А+ С >½ ( ВСК+ ВАК)= ½ = А+ С > невозможно. К

Описанная окружность. Задача: Около прямоугольного треугольника АВС с прямым С описана окружность. Найти радиус этой окружности АС=8 см, ВС=6 см. Дано: АВС, АС=8 см, ВС=6 см; окружность, С=90 0 Найти: ОА - ? Ответ: ОА=5 см Решение: АВ 2 =АС 2 +ВС 2 АВ 2 = АВ=10 ОА=5 см В С А О