Презентацию подготовил: Зибров Лев Группа: 11ПИ(б)Мен Теория Игр Оренбург, 2013

Теория игр Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников в конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них.

1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. Пусть на рынке располагаются 2 фирмы: лизинговая компания «Оренбурглизинг» и предприятие ОАО «Орскток», которое нуждается в новом оборудовании. Компания «Оренбурглизинг» может предоставить оборудование в лизинг-а 1, предоставить денежные средства в кредит-а 2, сдать оборудование на прокат-а 3 или продать данное оборудование-а 4. А предприятие ОАО «Орскток» может купить необходимое оборудование за счет собственных средств-b1, взять оборудование в лизинг-b2, взять кредит у компании «Оренбурглизинг» для покупки оборудования-b3 или взять оборудование на прокат-b4. Выигрыши компании «Оренбурглизинг» заданы в таблице. Необходимо: 1) Разработать программное средство для решения игры в чистых стратегиях (ввод данных вручную и из текстового файла, возможность приведения матрицы, алгоритм нахождения седловой точки); 2) Определить оптимальные стратегии лизинговой компании «Оренбурглизинг» и предприятия ОАО «Орскток»; 3) Провести экономическую интерпретацию результатов.

1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 a1a a2a a3a a4a Таблица исходных данных:

1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. Игрок А - «Оренбурглизинг» Игрок B - ОАО «Орскток» С помощью разработанной программы найдем стратегии игроков A и B.

1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. Вывод: Игрок А предоставляет денежные средства в кредит - а 2; Игрок B покупает необходимое оборудование за счет собственных средств - b1.

2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А – государственная налоговая инспекция; В – налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. У стороны А два возможных способа поведения. Один из них А1 состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него: - налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, - налога в размере Т и штрафа в размере К, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Второй способ поведения А2 – не контролировать доход налогоплательщика В. У стороны В три стратегии поведения: В1 – заявить о действительном доходе; В2 – заявить доход, меньший действительного, и,следовательно, налог С с заявленного дохода будет меньше Т; В3 – скрыть доход и не платить налог. Необходимо: 1) Составить матрицу игры; 2) Проанализировать игру на наличие седловой точки, на основе ранее разработанного ПО; 3) Сформулировать задачу линейного программирования для каждого игрока в общем виде и решить её использую стандартное ПО (программа DVSIM и MS Excel); 4) Определить оптимальные стратегии поведения для налоговой инспекции и налогоплательщика.

2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях B1B1B2B2B3B3 A1A1TT+KT+KT+KT+K A2A2TC0 B1B1B2B2B3B3 A1A11231 A2A21290 Таблицы исходных данных:

2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях Игрок А - Государственная налоговая инспекция Игрок B - Налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. С помощью ранее разработанной программы найдем стратегии игроков A и B.

2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях Продолжаем дальнейшие вычисления в программе MS Excel. V=1/0, =12 p1= 0, *12=1 p2=1-1=0 Мы получаем оптимальные решения для игрока А, т.е. значения х 1, х 2, при этих значениях мы получим минимальное значение.

2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях ν=1/0, =12; q1=1; q2=0; q3=0; Мы получаем оптимальные решения для игрока B,т.е значения y1, y2, y3, при этих значениях мы получим минимальное значение.

2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях Вывод: Оптимальной стратегией для игрока А является: А1 - контролирование дохода налогоплательщика В и взимании с него: - налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, - налога в размере Т и штрафа в размере К, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Оптимальной стратегией для игрока B является: B1 - заявить о действительном доходе.

3. Оптимальные стратегии в играх с природой Транспортному предприятию «Х» необходимо определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги. Спрос не известен, но ожидается, что он примет одно из четырёх значений. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей предприятия (с точки зрения затрат). Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам. Необходимо определить оптимальную стратегию предприятия, если возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей заданы в таблице 3. Для этого: 1) Разработать программное средство, реализующее выбор стратегий по критериям максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0.5), Байесовские критерии (максимального ожидаемого среднего выигрыша, минимального ожидаемого среднего риска); 2) Проанализировать полученные результаты

3. Оптимальные стратегии в играх с природой Возможн ости, тыс. тонн Варианты спроса, тыс. тонн Таблица исходных данных:

3. Оптимальные стратегии в играх с природой Игрок А – Транспортное предприятие Игрок B - Природа. С помощью разработанной программы найдем стратегии игроков A и B.

3. Оптимальные стратегии в играх с природой

Вывод: В ходе решения наиболее лучшим вариантом выбора стратегии, будет стратегия А2. Провозные возможности предприятия должны быть на уровне 12 тонн.

4. Решение статистических игр Производится сравнение различных инвестиционных проектов Пр 1, Пр 2, …, Прm. Для реализации каждого из проектов необходима определенная величина капитальных вложений К={Кi},, величины Кi являются управляемыми (контролируемыми) факторами. Каждому проекту соответствует определенное значение себестоимости продукции, которую предполагается выпускать при реализации проекта. Совокупность значений себестоимости продукции представляется в виде: Величины Cj на начальных этапах выполнения проекта точно определить невозможно, поэтому они считаются неконтролируемыми факторами. Каждой паре Ki, Cj, соответствует определенное значение приведенных годовых затрат, определяемых по формуле:, где EH – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений. Выбрать наилучшее байесовское действие в статистической игре без проведения эксперимента. Найти наилучшие стратегии компании с проведением эксперимента, если заданы вектор априорных вероятностей состояний рынка Р=(П1, П2, П3, П4) и матрица эксперимента.

4. Решение статистических игр MRCЕн M=4{11,12,13,14}{5,6,7,8}0.7 Р1Р2Р3Р4 0,10,2 0,5 θ٤ (θ)L(a, θ) A1A2A3A4 Θ1Θ Θ2Θ Θ3Θ Θ4Θ Таблицы исходных данных: P(x i | Dj )D1D1 D2D2 D3D3 D4 X X X3X X4X

4. Решение статистических игр Поиск наилучшего байесовского действия в статистической игре без проведения эксперимента: L(a1, ٤ ) =12.7* * * *0.5=14.17 L(a2, ٤ ) =13.7* * * *0.5=15.17 L(a3, ٤ ) =14.7* * * *0.5=16.17 L(a4, ٤ ) =15.7* * * *0.5=17.17 Поиск наилучшей стратегии компании с проведением эксперимента: R(d, θ1) = 12.7* * * *0.3=16.29 R(d, θ2) = 13.7* * * *0.3=19.28 R(d, θ3) = 14.7* * * *0.3=12.74 R(d, θ4) = 15.7* * * *0.1=11.69

4. Решение статистических игр Вывод: Байесовское действие в нашей статистической игре без проведения эксперимента будет действие, удовлетворяющее стратегии a1, которое дает минимальные потери. В статистической игре с проведением эксперимента байесовским действием будет стратегия a4, которая дает минимальный риск.

Заключение: В курсе Теории игр мы научились находить оптимальные стратегии игроков при игре с чистыми стратегиями, оптимальные стратегии игроков при игре со смешанными стратегиями, научились определять оптимальные стратегии в играх с природой, находить оптимальные стратегии в статистических играх без проведения эксперимента и с проведением единичного эксперимента.

Спасибо за внимание!