Урок по теме:Тригонометрические формулы. Ельцова Н.Г.,учитель МОУ «Гимназия 11», Г Норильск.

Рассмотрим следующие вопросы: 1. радианная мера угла; 2. поворот точки вокруг начала координат; 3. определение синуса, косинуса и тангенса произвольного угла; 4. знаки синуса, косинуса и тангенса; 5. зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла; 6. синус, косинус и тангенс углов и - ;

Повторим основные понятия: координатная прямая; координатная плоскость; центральный угол; sin α, cos α, где 0

Вопрос 1: Радианная мера угла. Каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности. Кроме градусной меры угла существует еще и радианная. Рассмотрим окр(О(0,0);R) дугу PM 1, равную радиусу R. Центральный угол,опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Задачи. Найти градусную меру угла,равного Найти радианную меру угла, равного решение: 15º.

Задание: заполните таблицу наиболее встречающихся углов в градусной и радианной мере. Градусы Радиан

Вопрос 2: Поворот точки вокруг начала координат. Установим соответствие между действительными числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности. Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота окружности вокруг начала координат на угол в a радиан, - любое действительное число. 3. Поворот на 0 радиан, означает, что точка остается на месте. 0

Вопрос 3: определение синуса, косинуса, тангенса угла. Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается sin α Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается cos α При повороте т.P(1,0) на угол α, т.е на угол 90, получается точка (0,1). Ордината точки равна 1, поэтому sin 90=sin =1. Абсцисса точки равна 0, cos90 =cos =0

Задание: Найти cos 270 = sin 270 = sin +sin1,5 = sin3 - cos1,5 =

Определение тангенса и котангенса угла Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу. tg = Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу. ctg = Найдите tg 0 ° = ctg 270 ° = tg 0 ° -tq180 ° =

Вопрос 4: знаки синуса косинуса и тангенса. Синус косинус и тангенс углов и –. Пусть т Р(1,0) движется по единичной окружности против часовой стрелки., sin >0, cos >0., sin >0, cos

Вопрос 5: Синус косинус и тангенс углов и –. Пусть т M 1 и тM 2 единичной окружности получены поворотом т P (1,0) на углы и –. Тогда ось Ох делит угол М 1 OM 2 пополам, поэтому тM 1 и M 2 симметричны относительно оси Ох М 1 (cos, sin ), M 2 (cos (- ), sin()). Значит (1) sin(-)=-sin (2) cos(-)=cos Используя определения тангенса и котангенса (3) tg (-)=tg (4) ctg (-)= -ctg Формулы 1-2 справедливы при любых. Формула 3, при

Задание: 1) докажите формулу (3) самостоятельно. 2) выясните знаки синуса, косинуса и тангенса углов:а), б) 745 °, в)-

Вопрос 5 зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Пусть т М (x;y) единичной окружности получена поворотом точки(1;0) на угол. Тогда по определению синуса и косинуса x=cos, y= sin. Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению:х 2 +у 2 =1, следовательно sin 2 +cos 2 =1. (1) Равенство (1) выполняется при любых значениях и называется основным тригонометрическим тождеством. Зависимость между тангенсом и котангенсом определяется равенством: (2) tg · ctg =1, 0 х у у (cos sin ) M

Решение: sin 2 + cos 2 =1, sin 2 = 1- cos 2. Дано: Найти: sin Дано: tg = 13 Найти: ctg Решение: tg ·ctg=1, следовательно ctg = ЗАДАЧА

Итог урока: Чему равна радианная мера угла, градусная мера угла? Какой угол называется углом в один радиан? Что называют синусом, косинусом, тангенсом произвольного угла ? Каким равенством определяется зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла? Как называется это равенство? Каким равенством определяется зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же угла?

1 вариант 1. Найдите радианную меру угла. 2 вариант 40º ответ: 2. Найдите градусную меру угла ответ: 3. найдите координаты точки, полученной поворотом т(1,0) единичной окружности на угол ответ: ответ: Математический диктант. (0;1), (-1;0),(-1;0), (1,0) (-1;0), (0;-1), (0;-1),(0;-1) 30° 135°

1 вариант. 4.вычислите: 2 вариант. 1) cos0 0 +3sin 90 0 = 1) cos sin90 0 = =1+3·1=1 =-1+5·1=5 2) sin cos = 2) sin cos0 0 = =-1+2=1 =0-3=-3 3) 1+ctg tg360 0 = 3) sin60 0 +cos30 0 = =1+0+0=1 4) sin30 0 +cos60 0 = 4)tg ctg = =0- 0+3=3