Тригонометрические уравнения Методы решений

История тригонометрии Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю) Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом Название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад Впервые способы решения треугольников были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.) Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли: ~Аль-Батани ~Абу-ль-Вафа ~Мухамед-бен Мухамед ~Насиреддин Туси Мухамед Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю) Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом Название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад Впервые способы решения треугольников были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.) Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли: ~Аль-Батани ~Абу-ль-Вафа ~Мухамед-бен Мухамед ~Насиреддин Туси Мухамед

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения - это равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное(переменную) под знаком тригонометрических функций Решить тригонометрическое уравнение, значит, найти все его корни

Уравнения вида sin x=a Уравнение sin x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1] Общая формула для решения подобных уравнений: n x=(-1)arc sin a + П n, где n принадлежит Z и arc sin a принадлежит [- П / 2; П / 2] Примеры: sin2x=0,5 sin x=-0,3

Уравнения вида cos x=a Уравнение cos x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1] Общая формула для решения подобных уравнений: x=+ / -arc cos a + 2 П n, где n принадлежит Z и arc cos a принадлежит [0; П ] Полезно знать, что arc cos (-a)= П -arc cos a Примеры cos4x=-1 cos0,5x=0

Уравнения вида tg x=a Уравнение tg x=a имеет решение при всех значениях а Общая формула для решения подобных уравнений: x=arc tg a + П n, где n принадлежит Z Полезно помнить, что arc tg (-a)=-arc tg a Примеры tg7x=25 tg x=0,7

Уравнения вида ctg x=a Уравнение ctg x=a имеет решение при всех значениях а Общая формула для решения подобных уравнений: x=arc ctg a + П n, где n принадлежит Z и arc ctg a принадлежит [0; П ] Полезно помнить, что arc ctg (-a)=-arc ctg a Примеры ctg9x=-0,1 ctg 0,6x=127

Метод подстановки 2 3 Уравнения вида a sin x+b sin x+c=0, a cos x+b cos x+c=0, a tg x+b tg x+c=0, a ctg x+b ctg x+c=0 сводятся к одной и той же функции относительно одного и того же выражения, входящего только под знак функции То есть при замене sinx= q, cosx= w, tgx= e, ctgx= r получаются алгебраические уравнения: 2 3 Уравнения вида a q x+b q x+c=0, a w x+b w x+c=0, a e x+b e x+c=0, a r x+b r x+c=0 После нахождения корней уравнений необходимо вернуться к sinx= q, cosx= w, tgx= e, ctgx= r не забыв что sinx=a, cosx=a, при а принадлежащем [-1; 1]

Однородные уравнения 2 2 Уравнения вида a sin x+b sin x cos x+c cos x=0, a sin x+b cos x+c=0 и т.д. называются однородными относительно sin x и cos x Делением на cos x*, где *-степень уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tg x 2 2 Рассмотрим уравнение a sin x+b sin x cos x+c cos x=0 и разделим 2 2 его на cos x, получим: a tg x+b tg x+c=0 при а не равном 0 оба уравнения равносильны, т.к. cos x не равен 0, если же cos x=0, то из первого уравнения видно, что sin x=0, что невозможно т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество.