Подготовка к ЕГЭ. Полезно знать.

Задачи на смеси и сплавы Удобно решать с использованием следующих вспомогательных средств: каждая отдельная смесь (или сплав), фигурирующая в задаче, представляется в виде таблицы, в которой записывается информация о составе данной смеси.

Например, дан раствор соли с общей массой 500 и концентрацией соли 40 %. Представляем такой раствор в виде таблицы: соль вода 40 % 60 % 500 Слева от таблицы записывается масса всего раствора. В левой колонке таблицы записывается информация об основном компоненте раствора (в данной задаче это соль). В первой строке таблицы записывается концентрация, во второй масса компонента. Найденная величина массы помещается во второй строке таблицы Если при решении задачи понадобятся данные о втором компоненте раствора, то они заносятся во вторую колонку таблицы ( ). ( ; )

ПРАВИЛО: П ри смешивании нескольких растворов складываются как общие массы растворов, так и массы компонентов этих растворов.

Задача. Смешали 10%- ный и 25%- ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора (в кг) было использовано? Решение соль вода 10% хсоль вода 25%соль вода 20% 3(3 – х) =+ 0,1 х 0,25(3-х ) Имеем: 0,1x + 0,25(3- x) = 0,6 0,1x + 0,75 – 0,25x = 0,6 -0,15x = -0,15 x = 1 3 – x = 3 – 1 = 2 Ответ: 1 кг; 2 кг 0,6

Задача. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды? Решение цел-завода 85%цел-завода 100% -цел-завода 75% 0,5 х= 0,5 · 0,85 = 0,425 0,425 (0,5-х) 0,75( 0,5 – x)х Имеем: 0,425 - x = 0,75( 0,5 – x) 0,425 – x = 0,375 – 0,75x x - 0, 75x = 0,425 – 0,375 0,25x = 0,05 x = 0,2 Ответ: 200 кг

Задача. Смешали 2 л 60%- ного раствора соли с 3 л 50%- ного раствора соли и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какова концентрация соли в полученной смеси? Решение соль вода 60% соль вода Х % соль вода 50%соль вода 0% = = Символы «+» между таблицами показывают, что растворы смешиваются и, следовательно, соответствующие массы складываются. 1) Находим массу соли в первом растворе: 0,6 · 2 = 1,2 2) Находим массу соли во втором растворе: 0,5 · 3 = 1,5 Для каждого раствора имеем: Масса соли: 1,2 + 1,5 + 0 = общая раствора: = 2,7 6 Имеем: 6 100% 2,7 х% => х = 45% Ответ: 45%

Задачи на «сухой остаток» Задача. Задача. В магазин привезли 100 кг клюквы, состоящей на 99% из воды. После длительного хранения и усушки содержание воды в клюкве уменьшилось до 98%. Каким стал новый вес клюквы? Решение клюква вода 99%1% 100 кг 1 кг клюква вода 98%2% 1 кг 2% Xкг 100% => х = = 50 (кг) Ответ: 50 кг

Решение грибы вода 90%10% 22 кг 22 0,1 = (кг)2,2– масса свежих грибов без воды Задача. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие содержат 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие содержат 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? грибы грибы вода вода 2,2 12% 100% - 12% = сухих грибов 88% 2,2 кг 88% X кг 100% => х = = 2, = = 10 4 = 2,5 (кг) = Ответ: 2,5 кг

Решить неравенство: (х-1) (х+8) 5-х 0 Решение Нули: 1 ; -8 ; 5 х Есть промежуток, которому принадлежит число 0 На этом промежутке установим знак. При х = 0 имеем: ( -1) ( +8) х 5- х 0 < э х (- ; -8] 8 [1 ; 5) Ответ: (- ; -8] 8 [1 ; 5)

«Шутливые» законы I: Увидел сумму – делай произведение II: Увидел произведение – делай сумму III: Увидел квадрат – понижай степень Совет: Если не знаешь, с чего начать преобразование тригонометрических выражений (за что «зацепиться»), начни с этих законов. Тригонометрические выражения во многих случаях подчиняются трём «законам»:

Решить уравнение: sin2x sin6x = cosx cox3x увидел произведение – делай сумму : Решение 1 2 (cos (2x–6x) – cos (2x+6x)) = 1 2 (cos (x-3x) + cos (x+3x))cos 4x – cos8x = cos 2x + cos4x(- ) cos4x – cos8x = cos2x + cos4x cos2x + cos8x = 0 увидел сумму – делай произведение : 2cos 2x+8 2 cos 2x-8x 2 = 0 cos5x cos(-3x) = 0 cos5x = 0 или cos3x = 0 5x = 2 + k или 3x = 2 + k x 10 = k 5 + x = 6 k + 3 (k Z) Э

Решить уравнение: cos 2x + cos 3x = 1 22 Решение увидел квадрат – понижай степень : 1 +cos4x cos6x 2 = 1 20 увидел сумму – делай произведение : 2cos 4x + 6x 2 cos 4x - 6x 2 = 0 cos5x cos(-x) = 0 5x = 2 k +или cos5x = 0 или cos(-x)=0 x 2 k += 10 k +x = 5 10 k k + ;Ответ: (k Z) Э

Фронтальная работа (взаимная проверка) Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения 1)Приведение к квадратному; 2)приведение к однородному; 3)разложение на множители; 4)понижение степени; 5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Вариант I Уравнение Способы решения sin 2 x+cos 2 x=1- sinxcosx 4cos 2 x-cosx-1 =0 4sin 2 x+cos2x=1 cosx+cos3x=0 2Sinxcos5x-cos5x=0 Вариант II Уравнение Способы решения sinxcosx – sinx=0 3cos 2 x-cos2x=1 6sin 2 x+4 sinxcosx=1 4sin 2 x+11sinx=3 sin3x=sin17x

Проверяем Вариант IВариант II

Экспертная работа

Метод декомпозиции Исходное неравенство О.Д.З. Декомпозиция неравенства (равносильное исходному на О.Д.З.) а f(x) - a g(x) V0 a > 0, a = 1 D(f) D(g) log f(x)- log g(x)V 0 aa а > 0, а = 1 f(x) > 0 g(x)>0 (a – 1)(f(x) – g(x))v0

Решить неравенство 1) О.Д.З. log x -9 x + 5x 2 2 x+2 log 1 x+2 Решение. x -9 x + 5x 2 2 > 0 x + 2 > 0 x + 2 = 1 (x – 3)(x + 3) x(x + 5) x > - 2 x = -1 x x x x Э (-2;-1) U (-1; 0) U ( 3; ) > 0

2) log x -9 x + 5x 2 2 x+2 log 1 x+2 О.Д.З (x + 2 – 1)( - 1) x -9 x + 5x О.Д.З (x + 1)( x(x + 5) x -9 - x - 5x ) 22 0 (x + 1) ( -5x – 9) x(x + 5) 0 О.Д.З (x + 1) ( 5x + 9) x(x + 5) 0 x x -5-1, x Э [ -1,8 ;-1) U ( 3; ) Ответ:[ -1,8 ;-1) U ( 3; ) О.Д.З О.Д.З. log - x+2 x -9 x + 5x 2 2 log 1 x+2 0 О.Д.З

Решить неравенство 4 - (0,5) x +3x-2 2 2x +2x-1 2 x 0 Решение. 1) О.Д.З = 0, х = 0 x 2) На О.Д.З. имеем: x +6x-4 22 x х-2 х 0 (2 – 1)( (5 – 1)(х – 0) 2x + 6x (1-2 х-2 х )) 0 2x + 6x х + 2 х 0 х 4 х + 8 х -5 х 2 0 4( x - )( x +2,5) x x x x Э ( - ; ] U ( 0; ] ,5 0,5 -2,50,5 О.Д.З