Презентация по геометрии на тему: Векторы

В курсе планиметрии мы познакомились с векторами на плоскости и действиями над ними. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора (вектора ) обозначается так:. Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0. Два ненулевых вектора называются коллинеарныйми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора коллинеарный и если при этом лучи сонаправлены, то векторы называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленным и, то векторы называются противоположно направленными. На рисунке 1,а изображены ненулевые векторы нулевой вектор, а на рисунке 1,б ненулевые векторы а,, имеющие общее начало. Нулевой вектор обозначается также символом

- векторы считаются сонаправленными. - векторы противоположно направлены. На рисунке 2 изображены векторы, ; векторы не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, т.к. они не коллинеарный. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

Равенство векторов. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. На рис. 2, т.к. и, а, т.к.. Если точка А начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, а притом только один.

Сложение и вычитание векторов. Вектор называется суммой векторов и :. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Сумма не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор. Правило треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство

Правило параллелограмма. Для сложения двух неколлинеарныйх векторов можно пользоваться также правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии.

Свойства сложения векторов. Для любых векторов, и справедливы равенства: Для любых векторов, и справедливы равенства: (переместительный закон); (переместительный закон); (сочетательный закон) (сочетательный закон) Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Очевидно, вектор является противоположным вектору.

Вычитание векторов. Разностью векторов u называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору. Разность векторов а и b можно найти по формуле Где - вектор, противоположный вектору. На рисунке представлены два способа построения разности двух данных векторов и.

Собственные векторы л инейного преобразования, векторы, которые при э том преобразовании н е меняют своего направления, а только умножаются н а с калер. Например, С. в. преобразования, с оставленного и з в ращении вокруг некоторой о си и сжатия к перпендикулярной ей плоскости, служат векторы, направленные п о э той о си. Координаты х 1, х 2,..., x n С. в. л инейного преобразования n- мерного пространства с матрицей преобразования ||a ik || удовлетворяют системе однородных л инейных у равнений,, где l о дно и з собственных значений э той матрицы. Е сли матрица преобразования с амосопряжённая ( см. Самосопряжённая матрица ), то С. в. взаимно перпендикулярны. П ри с амосопряжённом преобразовании сфера переходит в эллипсоид, г лавными о семи которого являются С. в. преобразования.

Формулы

Используемая литература 1) Я ндекс картинки 2) В икипедия 3) П рочие интернет ресурсы Выполнил Ю ркин Ю ра 2 пр 13